Subgroups — #321397

Order 512.

1020 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33303	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28655	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#28615	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1722	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1721	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#495	—	2	2	no	—
14	C₂×#495	—	2	2	no	—
15	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
23	#2858	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2067	—	2	4	no	—
27	#2054	—	2	4	no	—
28	#1990	C₂²	1	2	yes	—
29	#1990	C₂²	1	2	yes	—
30	#1968	—	2	2	no	—
31	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1957	C₂²	1	2	yes	—
33	#1957	C₂²	1	2	yes	—
34	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1925	—	2	4	no	—
36	#1879	—	2	4	no	—
37	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1722	—	2	4	no	—
41	#1721	—	2	4	no	—
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1273	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#124	—	2	2	no	—
55	C₂×#124	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	#500	—	2	4	no	—
60	#500	—	4	2	no	—
61	#495	—	4	8	no	—
62	#495	—	4	8	no	—
63	#494	—	2	2	no	—
64	#494	—	2	2	no	—
65	#493	—	2	4	no	—
66	#493	—	2	2	no	—
67	#493	—	2	2	no	—
68	#493	—	4	2	no	—
69	#492	—	2	2	no	—
70	#492	—	4	2	no	—
71	#492	—	4	2	no	—
72	#492	D₄	1	4	yes	—
73	#486	—	2	4	no	—
74	#486	—	2	4	no	—
75	#486	—	4	2	no	—
76	#486	—	4	2	no	—
77	C₄×SD₁₆	—	4	8	no	—
78	C₂×#107	—	2	4	no	—
79	C₂×#106	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×#103	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	4	no	—
83	C₂×#102	—	2	4	no	—
84	C₂×#102	—	2	4	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#391	—	2	1	no	—
94	#390	—	2	2	no	—
95	#390	—	2	1	no	—
96	#390	—	2	2	no	—
97	#390	—	2	2	no	—
98	#390	—	2	2	no	—
99	#390	—	2	2	no	—
100	#389	—	2	2	no	—
101	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#340	—	2	4	no	—
106	#340	—	2	4	no	—
107	#336	D₄	1	4	yes	—
108	#322	—	2	2	no	—
109	#322	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×D₈	—	4	8	no	—
128	C₂×D₈	—	4	8	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	C₂×D₈	—	8	4	no	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	#127	—	2	2	no	—
145	#127	—	2	1	no	—
146	#127	—	2	2	no	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	#124	—	4	8	no	—
152	#124	—	4	8	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄×D₄	—	4	4	no	—
155	C₄×D₄	—	8	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	#107	—	4	8	no	—
177	#106	—	4	4	no	—
178	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
179	#103	—	4	4	no	—
180	#102	—	4	8	no	—
181	#102	—	4	8	no	—
182	#102	—	4	8	no	—
183	#102	—	4	4	no	—
184	#102	—	8	4	no	—
185	C₄×C₈	—	2	4	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	D₈	1	8	yes	complemented
192	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
194	#95	—	4	2	no	—
195	C₂⁴	—	4	1	no	—
196	C₂⁴	—	4	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	1	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
231	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	Q₁₆	—	8	8	no	—
237	SD₁₆	—	4	16	no	—
238	SD₁₆	—	8	16	no	—
239	D₈	—	8	16	no	—
240	D₈	—	8	8	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	8	2	no	—
274	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
275	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
278	C₂³	—	4	2	no	—
279	C₂³	—	8	1	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	1	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	8	2	no	—
285	C₂³	—	8	2	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	2	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	4	4	no	—
292	Q₈	—	8	2	no	—
293	Q₈	—	8	4	no	—
294	Q₈	—	8	4	no	—
295	D₄	—	4	8	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	D₄	—	8	2	no	—
301	D₄	—	8	4	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	D₄	—	8	4	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	1	no	—
312	C₂×C₄	—	8	1	no	—
313	C₂×C₄	—	8	1	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	1	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	16	4	no	—
321	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
331	C₈	—	2	4	no	—
332	C₈	—	4	4	no	—
333	C₈	—	4	4	no	—
334	C₈	#459	1	8	yes	—
335	C₂²	—	8	2	no	—
336	C₂²	—	8	4	no	—
337	C₂²	—	16	1	no	—
338	C₂²	—	16	1	no	—
339	C₂²	—	16	2	no	—
340	C₂²	—	16	2	no	—
341	C₂²	—	16	2	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	—	16	2	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	—	16	2	no	—
346	C₂²	—	16	2	no	—
347	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3150	1	2	yes	—
350	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#3154	1	2	yes	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	8	2	no	—
356	C₄	—	16	2	no	—
357	C₄	—	16	1	no	—
358	C₄	—	16	1	no	—
359	C₄	C₂×#459	1	2	yes	—
360	C₄	#3205	1	2	yes	—
361	C₄	#3275	1	4	yes	—
362	C₄	#3401	1	4	yes	—
363	C₂	—	16	2	no	—
364	C₂	—	32	2	no	—
365	C₂	#19616	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#19660	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#19694	1	2	yes	—
368	C₂	#28437	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#28468	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1721	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33303	C₂	semidirect
2. #28655	C₂	semidirect
3. #28615	C₂	semidirect
4. C₄×#492	C₂	semidirect
5. C₂×#1722	C₂	semidirect
7. #10308	C₂	semidirect
8. #10305	C₂	semidirect
9. #9839	C₂	semidirect
10. #9837	C₂	semidirect
11. #8260	C₂	semidirect
191. C₄×C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33303	2
#28655	2
#28615	2
C₄×#492	2
C₂×#1722	2
C₂×#1721	2
#10308	2
#10305	2
#9839	2
#9837	2
#8260	2