Subgroups — #321467

Order 512.

1237 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 426 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33304	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28615	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#28437	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1721	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10304	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9820	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8262	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#496	—	2	2	no	—
13	C₂×#496	—	2	2	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#459	—	2	4	no	—
24	C₂×#442	—	2	2	no	—
25	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
28	#2054	—	2	4	no	—
29	#2011	—	2	4	no	—
30	#1990	C₂²	1	2	yes	—
31	#1972	—	2	2	no	—
32	#1957	C₂²	1	2	yes	—
33	#1957	C₂²	1	2	yes	—
34	#1957	C₂²	1	2	yes	—
35	#1957	C₂²	1	2	yes	—
36	#1879	—	2	4	no	—
37	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1721	—	2	4	no	—
41	#1712	—	2	4	no	—
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1273	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#127	—	2	1	no	—
55	C₂×#127	—	2	1	no	—
56	C₂×#127	—	2	2	no	—
57	C₂×#127	—	2	2	no	—
58	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#124	—	2	1	no	—
63	C₂×#124	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	#496	—	4	8	no	—
68	#496	—	4	8	no	—
69	#493	—	2	4	no	—
70	#493	—	2	4	no	—
71	#493	—	2	4	no	—
72	#493	—	2	2	no	—
73	#493	—	2	2	no	—
74	#493	—	2	2	no	—
75	#493	—	4	2	no	—
76	#493	—	4	2	no	—
77	#493	—	4	2	no	—
78	#493	—	4	2	no	—
79	#493	D₄	1	4	yes	complemented
80	#492	—	2	2	no	—
81	#492	—	2	2	no	—
82	#492	—	4	2	no	—
83	#486	—	2	4	no	—
84	#486	—	4	2	no	—
85	#459	—	4	16	no	—
86	#442	—	4	8	no	—
87	C₂×#106	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
89	C₂×#102	—	2	4	no	—
90	C₂×#102	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	2	4	no	—
93	C₂×#102	—	2	4	no	—
94	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#390	—	2	2	no	—
101	#390	—	2	2	no	—
102	#390	—	2	2	no	—
103	#390	—	2	2	no	—
104	#390	—	2	2	no	—
105	#384	C₂³	1	2	yes	—
106	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	#340	—	2	4	no	—
108	#336	D₄	1	4	yes	—
109	#322	—	2	2	no	—
110	C₈²	—	2	2	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	2	8	no	—
132	C₂×D₈	—	4	8	no	—
133	C₂×D₈	—	4	8	no	—
134	C₂×D₈	—	4	8	no	—
135	C₂×D₈	—	4	8	no	—
136	C₂×D₈	—	4	4	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	—	4	4	no	—
139	C₂×D₈	—	4	4	no	—
140	C₂×D₈	—	4	4	no	—
141	C₂×D₈	—	4	4	no	—
142	C₂×D₈	—	4	4	no	—
143	C₂×D₈	—	4	8	no	—
144	C₂×D₈	—	4	8	no	—
145	C₂×D₈	—	4	4	no	—
146	C₂×D₈	—	8	4	no	—
147	C₂×D₈	—	8	4	no	—
148	C₂×D₈	—	8	4	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	1	no	—
157	#127	—	2	1	no	—
158	#127	—	2	1	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	—	2	1	no	—
161	#127	—	2	1	no	—
162	#127	—	2	1	no	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	2	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	—	4	8	no	—
169	#127	—	4	4	no	—
170	#127	—	4	4	no	—
171	#127	—	8	4	no	—
172	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	#124	—	4	4	no	—
174	#124	—	4	4	no	—
175	C₄×D₄	—	4	8	no	—
176	C₄×D₄	—	4	8	no	—
177	C₄×D₄	—	8	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	#106	—	4	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
195	#102	—	4	8	no	—
196	#102	—	4	8	no	—
197	#102	—	4	8	no	—
198	#102	—	4	8	no	—
199	#102	—	8	4	no	—
200	#97	—	2	4	no	—
201	#97	D₈	1	8	yes	complemented
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₄×C₈	—	2	2	no	—
206	C₄×C₈	—	2	2	no	—
207	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
209	C₂⁴	—	4	2	no	—
210	C₂⁴	—	4	1	no	—
211	C₂⁴	—	4	1	no	—
212	C₂⁴	—	4	1	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	1	no	—
221	C₂×D₄	—	4	1	no	—
222	C₂×D₄	—	4	1	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	1	no	—
225	C₂×D₄	—	4	1	no	—
226	C₂×D₄	—	4	1	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	8	4	no	—
254	C₂×D₄	—	8	4	no	—
255	C₂×D₄	—	8	2	no	—
256	C₂×D₄	—	8	2	no	—
257	C₂×D₄	—	8	4	no	—
258	C₂×D₄	—	8	4	no	—
259	C₂×D₄	—	8	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	SD₁₆	—	8	8	no	—
271	SD₁₆	—	8	8	no	—
272	D₈	—	4	16	no	—
273	D₈	—	8	16	no	—
274	D₈	—	8	16	no	—
275	D₈	—	8	8	no	—
276	D₈	—	8	16	no	—
277	D₈	—	8	8	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
288	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
289	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
305	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	8	2	no	—
310	C₂³	—	8	2	no	—
311	C₂³	—	8	2	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	2	no	—
314	C₂³	—	8	2	no	—
315	C₂³	—	8	1	no	—
316	C₂³	—	8	1	no	—
317	C₂³	—	8	1	no	—
318	C₂³	—	8	1	no	—
319	C₂³	—	8	1	no	—
320	C₂³	—	8	1	no	—
321	C₂³	—	8	2	no	—
322	C₂³	—	8	2	no	—
323	C₂³	—	8	2	no	—
324	C₂³	—	8	2	no	—
325	C₂³	—	8	2	no	—
326	C₂³	—	8	2	no	—
327	C₂³	—	8	1	no	—
328	C₂³	—	8	1	no	—
329	C₂³	—	8	1	no	—
330	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	8	2	no	—
332	Q₈	—	8	2	no	—
333	D₄	—	4	8	no	—
334	D₄	—	4	8	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	8	4	no	—
337	D₄	—	8	4	no	—
338	D₄	—	8	4	no	—
339	D₄	—	8	4	no	—
340	D₄	—	8	4	no	—
341	D₄	—	8	4	no	—
342	D₄	—	8	2	no	—
343	D₄	—	8	2	no	—
344	D₄	—	8	2	no	—
345	D₄	—	8	4	no	—
346	D₄	—	8	4	no	—
347	D₄	—	8	4	no	—
348	D₄	—	8	2	no	—
349	D₄	—	8	2	no	—
350	D₄	—	8	2	no	—
351	D₄	—	16	8	no	—
352	D₄	—	16	4	no	—
353	D₄	—	16	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	1	no	—
357	C₂×C₄	—	2	1	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	1	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	1	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	1	no	—
366	C₂×C₄	—	16	8	no	—
367	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
376	C₈	—	2	4	no	—
377	C₈	—	2	8	no	—
378	C₈	—	4	4	no	—
379	C₈	#459	1	8	yes	complemented
380	C₂²	—	8	4	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	—	8	4	no	—
383	C₂²	—	16	2	no	—
384	C₂²	—	16	2	no	—
385	C₂²	—	16	2	no	—
386	C₂²	—	16	2	no	—
387	C₂²	—	16	1	no	—
388	C₂²	—	16	1	no	—
389	C₂²	—	16	1	no	—
390	C₂²	—	16	1	no	—
391	C₂²	—	16	1	no	—
392	C₂²	—	16	1	no	—
393	C₂²	—	16	1	no	—
394	C₂²	—	16	1	no	—
395	C₂²	—	16	1	no	—
396	C₂²	—	16	2	no	—
397	C₂²	—	16	2	no	—
398	C₂²	—	16	2	no	—
399	C₂²	—	16	2	no	—
400	C₂²	—	16	2	no	—
401	C₂²	—	16	2	no	—
402	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#3151	1	2	yes	—
406	C₂²	#3155	1	2	yes	—
407	C₄	—	2	4	no	—
408	C₄	—	4	1	no	—
409	C₄	—	4	1	no	—
410	C₄	—	16	1	no	—
411	C₄	—	16	2	no	—
412	C₄	C₂×#459	1	2	yes	—
413	C₄	#3205	1	2	yes	—
414	C₄	#3264	1	4	yes	—
415	C₄	#3399	1	4	yes	—
416	C₂	—	16	4	no	—
417	C₂	—	32	1	no	—
418	C₂	—	32	1	no	—
419	C₂	—	32	1	no	—
420	C₂	#19629	1	2	yes	—
421	C₂	#19727	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#19745	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#28437	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#28475	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33304	C₂	semidirect
2. #28615	C₂	semidirect
3. #28437	C₂	semidirect
4. #21690	C₂	semidirect
5. C₂×#1721	C₂	semidirect
6. C₂×#1712	C₂	semidirect
7. #10305	C₂	semidirect
8. #10304	C₂	semidirect
9. #9837	C₂	semidirect
10. #9820	C₂	semidirect
11. #8262	C₂	semidirect
79. #493	D₄	semidirect
201. #97	D₈	semidirect
379. C₈	#459	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33304	2
#28615	2
#28437	2
#21690	2
C₂×#1721	2
C₂×#1712	2
#10305	2
#10304	2
#9837	2
#9820	2
#8262	2