Subgroups — #321496

Order 512.

860 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33255	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28688	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#28613	C₂	1	2	yes	maximal
4	#21692	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1722	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1705	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10314	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10310	C₂	1	2	yes	maximal
9	#9841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9825	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8262	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#440	—	2	2	no	—
21	#2862	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2085	—	2	4	no	—
25	#2055	—	2	4	no	—
26	#1990	C₂²	1	2	yes	—
27	#1990	C₂²	1	2	yes	—
28	#1990	C₂²	1	2	yes	—
29	#1973	—	2	2	no	—
30	#1971	—	2	2	no	—
31	#1971	—	2	2	no	—
32	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1956	C₂²	1	2	yes	—
35	#1949	—	2	4	no	—
36	#1877	—	2	4	no	—
37	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1722	—	2	4	no	—
41	#1705	—	2	4	no	—
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1273	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	#500	—	2	4	no	—
56	#500	—	4	2	no	—
57	#498	—	2	4	no	—
58	#498	—	2	2	no	—
59	#498	—	2	2	no	—
60	#498	—	4	2	no	—
61	#494	—	2	2	no	—
62	#494	—	2	2	no	—
63	#492	—	2	4	no	—
64	#492	—	2	2	no	—
65	#492	—	4	2	no	—
66	#492	D₄	1	4	yes	—
67	#487	—	4	2	no	—
68	#487	—	4	2	no	—
69	#486	—	2	4	no	—
70	#486	—	4	2	no	—
71	#440	—	4	8	no	—
72	C₂×#107	—	2	4	no	—
73	C₂×#107	—	2	2	no	—
74	C₂×#106	—	2	4	no	—
75	C₂×#106	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×#103	—	2	4	no	—
78	C₂×#103	—	2	2	no	—
79	C₂×#103	—	2	4	no	—
80	C₂×#102	—	2	4	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#391	—	2	1	no	—
89	#391	—	2	2	no	—
90	#391	—	2	2	no	—
91	#391	—	2	2	no	—
92	#391	—	2	2	no	—
93	#390	—	2	2	no	—
94	#390	—	2	1	no	—
95	#389	—	2	2	no	—
96	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#382	—	2	2	no	—
99	#382	—	2	2	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#340	—	2	4	no	—
103	#340	—	2	4	no	—
104	#340	—	2	4	no	—
105	#336	D₄	1	4	yes	—
106	#322	—	2	2	no	—
107	C₈²	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	#127	—	2	1	no	—
139	#127	—	2	2	no	—
140	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
142	C₄×D₄	—	4	4	no	—
143	C₄×D₄	—	8	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	#107	—	4	8	no	—
163	#107	—	4	4	no	—
164	#106	—	4	8	no	—
165	#106	—	4	4	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
167	#103	—	4	4	no	—
168	#103	—	4	8	no	—
169	#103	—	8	4	no	—
170	#102	—	4	8	no	—
171	#102	—	4	4	no	—
172	#97	—	2	4	no	—
173	#97	—	2	4	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
181	#95	—	4	2	no	—
182	#95	—	4	2	no	—
183	#95	—	4	2	no	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	#95	—	4	2	no	—
186	C₂⁴	—	4	1	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	1	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
214	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
219	Q₁₆	—	8	8	no	—
220	SD₁₆	—	4	16	no	—
221	SD₁₆	—	8	16	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
231	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
232	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
233	C₂×C₈	#137	1	8	yes	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	8	2	no	—
256	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
259	C₂³	—	4	2	no	—
260	C₂³	—	8	1	no	—
261	C₂³	—	8	1	no	—
262	C₂³	—	8	2	no	—
263	C₂³	—	8	2	no	—
264	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
265	Q₈	—	4	4	no	—
266	Q₈	—	8	2	no	—
267	Q₈	—	8	4	no	—
268	Q₈	—	8	4	no	—
269	Q₈	—	8	4	no	—
270	Q₈	—	8	4	no	—
271	D₄	—	4	8	no	—
272	D₄	—	4	4	no	—
273	D₄	—	8	4	no	—
274	D₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	1	no	—
284	C₂×C₄	—	8	1	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	—	8	1	no	—
287	C₂×C₄	—	8	1	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	16	4	no	—
296	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
304	C₈	—	2	8	no	—
305	C₈	—	4	2	no	—
306	C₈	—	4	4	no	—
307	C₈	#463	1	8	yes	—
308	C₂²	—	8	2	no	—
309	C₂²	—	8	4	no	—
310	C₂²	—	16	1	no	—
311	C₂²	—	16	1	no	—
312	C₂²	—	16	2	no	—
313	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#3152	1	2	yes	—
317	C₂²	#3154	1	2	yes	—
318	C₄	—	4	1	no	—
319	C₄	—	4	1	no	—
320	C₄	—	4	2	no	—
321	C₄	—	8	2	no	—
322	C₄	—	16	1	no	—
323	C₄	—	16	1	no	—
324	C₄	—	16	2	no	—
325	C₄	—	16	2	no	—
326	C₄	C₂×#463	1	2	yes	—
327	C₄	#3207	1	2	yes	—
328	C₄	#3266	1	4	yes	—
329	C₄	#3400	1	4	yes	—
330	C₂	—	16	2	no	—
331	C₂	#19642	1	2	yes	—
332	C₂	#19713	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#19746	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#28443	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#28478	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#127	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33255	C₂	semidirect
2. #28688	C₂	semidirect
7. #10314	C₂	semidirect
9. #9841	C₂	semidirect
10. #9825	C₂	semidirect
11. #8262	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33255	2
#28688	2
#28613	2
#21692	2
C₂×#1722	2
C₂×#1705	2
#10314	2
#10310	2
#9841	2
#9825	2
#8262	2