Subgroups — #321499

Order 512.

997 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33304	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28749	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#28614	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21727	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1715	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1708	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10310	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8262	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#496	—	2	2	no	—
14	C₂×#496	—	2	2	no	—
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
23	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	#2055	—	2	4	no	—
27	#2041	—	2	4	no	—
28	#1990	C₂²	1	2	yes	—
29	#1990	C₂²	1	2	yes	—
30	#1982	—	2	4	no	—
31	#1957	C₂²	1	2	yes	—
32	#1957	C₂²	1	2	yes	—
33	#1957	C₂²	1	2	yes	—
34	#1944	—	2	2	no	—
35	#1880	—	2	4	no	—
36	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1776	—	2	2	no	—
38	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1715	—	2	4	no	—
41	#1708	—	2	4	no	—
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1273	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#127	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#124	—	2	1	no	—
60	C₂×#124	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
62	#498	—	2	2	no	—
63	#498	D₄	1	4	yes	complemented
64	#496	—	4	8	no	—
65	#496	—	4	8	no	—
66	#493	—	2	2	no	—
67	#493	—	2	2	no	—
68	#493	—	4	2	no	—
69	#492	—	2	4	no	—
70	#492	—	2	2	no	—
71	#492	—	2	2	no	—
72	#492	—	4	2	no	—
73	#492	—	4	2	no	—
74	#487	—	2	4	no	—
75	#487	—	4	2	no	—
76	#486	—	2	4	no	—
77	#486	—	2	4	no	—
78	#486	—	4	2	no	—
79	#486	—	4	2	no	—
80	C₂×#107	—	2	2	no	—
81	C₂×#106	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×#103	—	2	4	no	—
84	C₂×#102	—	2	4	no	—
85	C₂×#102	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×#102	—	2	4	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#391	—	2	2	no	—
96	#390	—	2	2	no	—
97	#390	—	2	2	no	—
98	#389	—	2	2	no	—
99	#389	—	2	2	no	—
100	#384	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#340	—	2	4	no	—
105	#340	—	2	4	no	—
106	#336	D₄	1	4	yes	—
107	#322	—	2	2	no	—
108	C₈²	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	C₂×D₈	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	#127	—	2	1	no	—
147	#127	—	2	1	no	—
148	#127	—	2	1	no	—
149	#127	—	2	1	no	—
150	#127	—	2	1	no	—
151	#127	—	2	1	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	4	8	no	—
156	#127	—	4	4	no	—
157	#127	—	4	4	no	—
158	#127	—	8	4	no	—
159	#124	—	4	4	no	—
160	#124	—	4	4	no	—
161	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	#107	—	4	4	no	—
179	#106	—	2	8	no	—
180	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
181	#103	—	4	8	no	—
182	#102	—	4	8	no	—
183	#102	—	4	8	no	—
184	#102	—	8	4	no	—
185	#102	—	8	4	no	—
186	#102	—	8	4	no	—
187	#97	—	2	4	no	—
188	#97	SD₁₆	1	8	yes	complemented
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	2	no	—
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
196	#95	—	4	2	no	—
197	#95	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	—	4	1	no	—
199	C₂⁴	—	4	1	no	—
200	C₂⁴	—	4	1	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	1	no	—
210	C₂×D₄	—	4	1	no	—
211	C₂×D₄	—	4	1	no	—
212	C₂×D₄	—	4	1	no	—
213	C₂×D₄	—	4	1	no	—
214	C₂×D₄	—	4	1	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	8	4	no	—
234	C₂×D₄	—	8	2	no	—
235	C₂×D₄	—	8	2	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	4	no	—
238	C₂×D₄	—	8	4	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	SD₁₆	—	8	8	no	—
249	SD₁₆	—	8	16	no	—
250	SD₁₆	—	8	8	no	—
251	D₈	—	8	8	no	—
252	D₈	—	8	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	8	4	no	—
282	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
283	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
286	C₂³	—	8	1	no	—
287	C₂³	—	8	1	no	—
288	C₂³	—	8	1	no	—
289	C₂³	—	8	1	no	—
290	C₂³	—	8	1	no	—
291	C₂³	—	8	1	no	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	2	no	—
296	C₂³	—	8	2	no	—
297	C₂³	—	8	2	no	—
298	C₂³	—	8	1	no	—
299	C₂³	—	8	1	no	—
300	C₂³	—	8	1	no	—
301	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	4	8	no	—
303	Q₈	—	8	4	no	—
304	Q₈	—	8	2	no	—
305	Q₈	—	8	2	no	—
306	D₄	—	8	4	no	—
307	D₄	—	8	4	no	—
308	D₄	—	8	4	no	—
309	D₄	—	8	2	no	—
310	D₄	—	8	2	no	—
311	D₄	—	8	2	no	—
312	D₄	—	8	4	no	—
313	D₄	—	8	4	no	—
314	D₄	—	8	4	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	16	8	no	—
319	D₄	—	16	4	no	—
320	D₄	—	16	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	1	no	—
331	C₂×C₄	—	8	1	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	1	no	—
336	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	4	4	no	—
347	C₈	—	4	4	no	—
348	C₈	#460	1	8	yes	—
349	C₂²	—	16	1	no	—
350	C₂²	—	16	1	no	—
351	C₂²	—	16	1	no	—
352	C₂²	—	16	1	no	—
353	C₂²	—	16	1	no	—
354	C₂²	—	16	1	no	—
355	C₂²	—	16	1	no	—
356	C₂²	—	16	1	no	—
357	C₂²	—	16	1	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	—	16	2	no	—
361	C₂²	—	16	2	no	—
362	C₂²	—	16	2	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#3153	1	2	yes	—
368	C₂²	#3155	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	4	1	no	—
371	C₄	—	4	1	no	—
372	C₄	—	8	4	no	—
373	C₄	—	16	2	no	—
374	C₄	—	16	1	no	—
375	C₄	C₂×#460	1	2	yes	—
376	C₄	#3208	1	2	yes	—
377	C₄	#3268	1	4	yes	—
378	C₄	#3403	1	4	yes	—
379	C₂	—	32	1	no	—
380	C₂	—	32	1	no	—
381	C₂	—	32	1	no	—
382	C₂	#19623	1	2	yes	—
383	C₂	#19727	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#19749	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#28441	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#28474	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33304	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28749	C₂	semidirect
3. #28614	C₂	semidirect
4. #21727	C₂	semidirect
5. C₂×#1715	C₂	semidirect
6. C₂×#1708	C₂	semidirect
7. #10310	C₂	semidirect
8. #10305	C₂	semidirect
9. #9842	C₂	semidirect
10. #9824	C₂	semidirect
11. #8262	C₂	semidirect
63. #498	D₄	semidirect
188. #97	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33304	2
#28749	2
#28614	2
#21727	2
C₂×#1715	2
C₂×#1708	2
#10310	2
#10305	2
#9842	2
#9824	2
#8262	2