Subgroups — #321507

Order 512.

1017 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33304	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28749	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#28655	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21691	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1722	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10307	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9820	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8262	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#496	—	2	2	no	—
14	C₂×#496	—	2	2	no	—
15	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#441	—	2	2	no	—
24	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#2067	—	2	4	no	—
28	#2041	—	2	4	no	—
29	#1990	C₂²	1	2	yes	—
30	#1982	—	2	4	no	—
31	#1971	—	2	2	no	—
32	#1957	C₂²	1	2	yes	—
33	#1957	C₂²	1	2	yes	—
34	#1957	C₂²	1	2	yes	—
35	#1956	C₂²	1	2	yes	—
36	#1925	—	2	4	no	—
37	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1722	—	2	4	no	—
41	#1709	—	2	4	no	—
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1273	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#127	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#124	—	2	1	no	—
60	C₂×#124	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
62	#500	—	2	4	no	—
63	#500	—	4	2	no	—
64	#496	—	4	8	no	—
65	#496	—	4	8	no	—
66	#494	—	2	2	no	—
67	#494	D₄	1	4	yes	complemented
68	#493	—	2	2	no	—
69	#493	—	2	2	no	—
70	#493	—	4	2	no	—
71	#492	—	2	2	no	—
72	#492	—	2	2	no	—
73	#492	—	4	2	no	—
74	#486	—	2	4	no	—
75	#486	—	2	4	no	—
76	#486	—	2	4	no	—
77	#486	—	4	2	no	—
78	#486	—	4	2	no	—
79	#486	—	4	2	no	—
80	#441	—	4	8	no	—
81	C₂×#107	—	2	4	no	—
82	C₂×#106	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
84	C₂×#103	—	2	4	no	—
85	C₂×#102	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×#102	—	2	4	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	C₂×#102	—	2	4	no	—
90	C₂×#102	—	2	4	no	—
91	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
92	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#391	—	2	2	no	—
98	#390	—	2	2	no	—
99	#390	—	2	2	no	—
100	#389	—	2	2	no	—
101	#389	—	2	2	no	—
102	#384	C₂³	1	2	yes	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#340	—	2	4	no	—
107	#336	D₄	1	4	yes	—
108	#322	—	2	2	no	—
109	C₈²	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	C₂×D₈	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	4	4	no	—
135	C₂×D₈	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	#127	—	2	1	no	—
148	#127	—	2	1	no	—
149	#127	—	2	1	no	—
150	#127	—	2	1	no	—
151	#127	—	2	1	no	—
152	#127	—	2	1	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	4	8	no	—
157	#127	—	4	4	no	—
158	#127	—	4	4	no	—
159	#127	—	8	4	no	—
160	#124	—	4	4	no	—
161	#124	—	4	4	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	#107	—	4	8	no	—
180	#106	—	4	4	no	—
181	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
182	#103	—	4	8	no	—
183	#102	—	4	8	no	—
184	#102	—	4	8	no	—
185	#102	—	4	8	no	—
186	#102	—	4	8	no	—
187	#102	—	8	4	no	—
188	#102	—	8	4	no	—
189	#97	—	2	4	no	—
190	#97	D₈	1	8	yes	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	2	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
198	#95	—	4	2	no	—
199	#95	—	4	2	no	—
200	C₂⁴	—	4	1	no	—
201	C₂⁴	—	4	1	no	—
202	C₂⁴	—	4	1	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	1	no	—
212	C₂×D₄	—	4	1	no	—
213	C₂×D₄	—	4	1	no	—
214	C₂×D₄	—	4	1	no	—
215	C₂×D₄	—	4	1	no	—
216	C₂×D₄	—	4	1	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	8	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	2	no	—
237	C₂×D₄	—	8	2	no	—
238	C₂×D₄	—	8	4	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂×D₄	—	8	4	no	—
241	C₂×D₄	—	8	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	Q₁₆	—	4	16	no	—
251	SD₁₆	—	8	8	no	—
252	SD₁₆	—	8	8	no	—
253	D₈	—	8	8	no	—
254	D₈	—	8	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	8	4	no	—
284	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
285	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
288	C₂³	—	8	1	no	—
289	C₂³	—	8	1	no	—
290	C₂³	—	8	1	no	—
291	C₂³	—	8	1	no	—
292	C₂³	—	8	1	no	—
293	C₂³	—	8	1	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	2	no	—
296	C₂³	—	8	2	no	—
297	C₂³	—	8	2	no	—
298	C₂³	—	8	2	no	—
299	C₂³	—	8	2	no	—
300	C₂³	—	8	1	no	—
301	C₂³	—	8	1	no	—
302	C₂³	—	8	1	no	—
303	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	4	8	no	—
305	Q₈	—	8	4	no	—
306	Q₈	—	8	2	no	—
307	Q₈	—	8	2	no	—
308	D₄	—	8	4	no	—
309	D₄	—	8	4	no	—
310	D₄	—	8	4	no	—
311	D₄	—	8	2	no	—
312	D₄	—	8	2	no	—
313	D₄	—	8	2	no	—
314	D₄	—	8	4	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	D₄	—	8	4	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	2	no	—
320	D₄	—	16	8	no	—
321	D₄	—	16	4	no	—
322	D₄	—	16	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	1	no	—
334	C₂×C₄	—	8	1	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	1	no	—
338	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
347	C₈	—	2	4	no	—
348	C₈	—	4	4	no	—
349	C₈	—	4	4	no	—
350	C₈	#459	1	8	yes	—
351	C₂²	—	16	1	no	—
352	C₂²	—	16	1	no	—
353	C₂²	—	16	1	no	—
354	C₂²	—	16	1	no	—
355	C₂²	—	16	1	no	—
356	C₂²	—	16	1	no	—
357	C₂²	—	16	1	no	—
358	C₂²	—	16	1	no	—
359	C₂²	—	16	1	no	—
360	C₂²	—	16	2	no	—
361	C₂²	—	16	2	no	—
362	C₂²	—	16	2	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	—	16	2	no	—
365	C₂²	—	16	2	no	—
366	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3153	1	2	yes	—
370	C₂²	#3154	1	2	yes	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	4	1	no	—
373	C₄	—	4	1	no	—
374	C₄	—	8	4	no	—
375	C₄	—	16	1	no	—
376	C₄	—	16	2	no	—
377	C₄	C₂×#459	1	2	yes	—
378	C₄	#3205	1	2	yes	—
379	C₄	#3271	1	4	yes	—
380	C₄	#3401	1	4	yes	—
381	C₂	—	32	1	no	—
382	C₂	—	32	1	no	—
383	C₂	—	32	1	no	—
384	C₂	#19631	1	2	yes	—
385	C₂	#19713	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#19749	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#28437	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#28481	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33304	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28749	C₂	semidirect
3. #28655	C₂	semidirect
4. #21691	C₂	semidirect
5. C₂×#1722	C₂	semidirect
6. C₂×#1709	C₂	semidirect
7. #10308	C₂	semidirect
8. #10307	C₂	semidirect
9. #9837	C₂	semidirect
10. #9820	C₂	semidirect
11. #8262	C₂	semidirect
67. #494	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33304	2
#28749	2
#28655	2
#21691	2
C₂×#1722	2
C₂×#1709	2
#10308	2
#10307	2
#9837	2
#9820	2
#8262	2