Subgroups — #321530

Order 512.

954 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 307 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28512	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28441	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1666	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10268	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9695	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#9692	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#492	—	2	2	no	—
11	C₂×#492	—	2	2	no	—
12	C₂×#492	—	2	1	no	—
13	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#475	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#460	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2096	—	2	2	no	—
22	#2014	—	2	2	no	—
23	#1984	C₂²	1	2	yes	—
24	#1957	—	2	1	no	—
25	#1956	—	2	1	no	—
26	#1939	—	2	2	no	—
27	#1844	—	2	1	no	—
28	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
30	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1666	—	2	16	no	—
34	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
37	#1277	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#127	—	2	2	no	—
46	C₂×#127	—	2	1	no	—
47	C₂×#127	—	2	1	no	—
48	C₂×#127	—	2	2	no	—
49	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	#492	—	2	8	no	—
52	#492	—	4	4	no	—
53	#492	—	4	8	no	—
54	#492	—	4	4	no	—
55	#492	—	4	8	no	—
56	#475	—	2	8	no	—
57	#475	—	4	4	no	—
58	#460	—	2	8	no	—
59	#460	—	4	4	no	—
60	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×#106	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#103	—	2	4	no	—
68	C₂×#102	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#391	D₄	1	2	yes	—
77	#389	—	2	2	no	—
78	#384	—	2	1	no	—
79	#384	—	2	1	no	—
80	#384	—	2	2	no	—
81	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#336	—	2	4	no	—
85	#336	—	2	1	no	—
86	#336	—	2	1	no	—
87	#334	D₄	1	8	yes	complemented
88	#332	—	2	8	no	—
89	#331	—	2	8	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
97	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
98	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
99	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
100	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
101	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
102	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
103	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
105	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
106	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
118	C₄⋊Q₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
119	#127	—	2	4	no	—
120	#127	—	2	4	no	—
121	#127	—	4	4	no	—
122	#127	—	4	2	no	—
123	#127	—	4	2	no	—
124	#127	—	4	4	no	—
125	#127	—	8	2	no	—
126	#127	—	8	4	no	—
127	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	#106	—	4	8	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
148	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
149	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	#103	—	4	8	no	—
152	#102	—	4	8	no	—
153	C₄×C₈	—	2	4	no	—
154	C₄×C₈	—	2	2	no	—
155	C₄×C₈	—	4	4	no	—
156	C₄×C₈	—	4	2	no	—
157	C₄×C₈	—	4	2	no	—
158	C₄×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
159	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	#95	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	—	4	2	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
164	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
166	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
167	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
169	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
170	C₂×D₄	—	4	2	no	—
171	C₂×D₄	—	4	2	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	2	no	—
176	C₂×D₄	—	4	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	8	4	no	—
180	C₂×D₄	—	8	4	no	—
181	C₂×D₄	—	8	4	no	—
182	C₂×D₄	—	8	4	no	—
183	C₂×D₄	—	8	4	no	—
184	C₂×D₄	—	8	4	no	—
185	C₂×D₄	—	8	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
194	SD₁₆	—	8	8	no	—
195	SD₁₆	—	8	16	no	—
196	SD₁₆	—	8	16	no	—
197	SD₁₆	—	8	8	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂×C₈	—	2	4	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	2	no	—
205	C₂×C₈	—	4	2	no	—
206	C₂×C₈	—	4	2	no	—
207	C₂×C₈	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
210	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
212	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
213	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	4	no	—
223	C₄²	—	4	2	no	—
224	C₄²	—	4	2	no	—
225	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
226	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
227	C₄²	#135	1	2	yes	—
228	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
229	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
231	C₂³	—	8	4	no	—
232	C₂³	—	8	2	no	—
233	C₂³	—	8	2	no	—
234	C₂³	—	8	2	no	—
235	C₂³	—	8	4	no	—
236	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
237	Q₈	—	2	8	no	—
238	Q₈	—	4	4	no	—
239	Q₈	—	8	2	no	—
240	Q₈	—	8	2	no	—
241	Q₈	—	8	4	no	—
242	D₄	—	8	2	no	—
243	D₄	—	8	2	no	—
244	D₄	—	8	4	no	—
245	D₄	—	8	4	no	—
246	D₄	—	8	4	no	—
247	D₄	—	16	4	no	—
248	D₄	—	16	8	no	—
249	D₄	—	16	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	8	4	no	—
259	C₂×C₄	—	8	2	no	—
260	C₂×C₄	#460	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	#460	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	#465	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
273	C₈	—	2	2	no	—
274	C₈	—	2	4	no	—
275	C₈	—	4	4	no	—
276	C₈	—	4	4	no	—
277	C₈	—	8	2	no	—
278	C₈	#492	1	4	yes	complemented
279	C₂²	—	16	4	no	—
280	C₂²	—	16	2	no	—
281	C₂²	—	16	2	no	—
282	C₂²	—	16	2	no	—
283	C₂²	—	16	4	no	—
284	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂×#460	1	2	yes	—
286	C₂²	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#3057	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
289	C₄	—	2	4	no	—
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	4	4	no	—
292	C₄	—	8	2	no	—
293	C₄	—	16	2	no	—
294	C₄	#1666	1	8	yes	complemented
295	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
296	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
297	C₄	#3208	1	2	yes	—
298	C₄	D₄×SD₁₆	1	2	yes	—
299	C₄	#3284	1	2	yes	—
300	C₂	—	32	2	no	—
301	C₂	C₂×#1666	1	2	yes	—
302	C₂	#19202	1	2	yes	—
303	C₂	#28441	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#28482	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#28494	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#2867	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28512	C₂	semidirect
4. C₈×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
5. C₂×#1666	C₂	semidirect
6. #10268	C₂	semidirect
8. #9692	C₂	semidirect
9. C₄×#334	C₂	semidirect
87. #334	D₄	semidirect
118. C₄⋊Q₈	SD₁₆	semidirect
158. C₄×C₈	SD₁₆	semidirect
278. C₈	#492	semidirect
294. C₄	#1666	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33300	2
#28512	2
#28441	2
C₈×C₄⋊Q₈	2
C₂×#1666	2
#10268	2
#9695	2
#9692	2
C₄×#334	2