Subgroups — #321561

Order 512.

858 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 293 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#28438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21681	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1691	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10271	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9694	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9691	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#492	—	2	1	no	—
13	C₂×#476	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#461	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#436	—	2	2	no	—
16	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
17	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2094	—	2	2	no	—
21	#2013	—	2	2	no	—
22	#1957	—	2	1	no	—
23	#1956	—	2	1	no	—
24	#1954	—	2	2	no	—
25	#1954	C₂²	1	2	yes	—
26	#1844	—	2	2	no	—
27	#1844	—	2	2	no	—
28	#1844	—	2	1	no	—
29	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1691	—	2	16	no	—
34	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
37	#1277	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
48	#498	—	2	8	no	—
49	#498	—	4	4	no	—
50	#492	—	4	4	no	—
51	#476	—	2	8	no	—
52	#476	—	4	4	no	—
53	#461	—	2	8	no	—
54	#461	—	4	4	no	—
55	#436	—	2	8	no	—
56	#436	—	4	8	no	—
57	C₂×#106	—	2	4	no	—
58	C₂×#106	—	2	2	no	—
59	C₂×#106	—	2	2	no	—
60	C₂×#106	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#103	—	2	4	no	—
66	C₂×#102	—	2	4	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#390	—	2	2	no	—
76	#390	D₄	1	2	yes	—
77	#384	—	2	1	no	—
78	#384	—	2	2	no	—
79	#384	—	2	2	no	—
80	#384	—	2	1	no	—
81	#384	—	2	2	no	—
82	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#336	—	2	1	no	—
85	#336	—	2	1	no	—
86	#335	D₄	1	8	yes	complemented
87	#333	—	2	8	no	—
88	#332	—	2	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
95	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
96	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
113	#127	—	2	2	no	—
114	#127	—	2	2	no	—
115	C₄×D₄	—	2	4	no	—
116	C₄×D₄	—	2	4	no	—
117	C₄×D₄	—	4	4	no	—
118	C₄×D₄	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#106	—	4	8	no	—
137	#106	—	4	8	no	—
138	#106	—	4	4	no	—
139	#106	—	4	4	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
141	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
144	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	#103	—	4	8	no	—
147	#102	—	4	8	no	—
148	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
149	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
150	C₄×C₈	—	2	4	no	—
151	C₄×C₈	—	2	2	no	—
152	C₄×C₈	—	4	2	no	—
153	C₄×C₈	—	4	2	no	—
154	C₄×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
155	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂⁴	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
162	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	2	2	no	—
165	C₂×D₄	—	2	2	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	4	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
182	SD₁₆	—	8	16	no	—
183	M₁₆	—	8	8	no	—
184	C₂×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	4	no	—
188	C₂×C₈	—	2	4	no	—
189	C₂×C₈	—	4	2	no	—
190	C₂×C₈	—	4	2	no	—
191	C₂×C₈	—	4	2	no	—
192	C₂×C₈	—	4	2	no	—
193	C₂×C₈	—	4	2	no	—
194	C₂×C₈	—	4	4	no	—
195	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
196	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
197	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
198	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
199	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	2	4	no	—
215	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
216	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
217	C₄²	#137	1	4	yes	—
218	C₄²	#137	1	2	yes	—
219	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
221	C₂³	—	4	4	no	—
222	C₂³	—	4	2	no	—
223	C₂³	—	4	2	no	—
224	C₂³	—	4	2	no	—
225	C₂³	—	4	4	no	—
226	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
227	Q₈	—	8	4	no	—
228	Q₈	—	8	4	no	—
229	Q₈	—	16	4	no	—
230	D₄	—	4	4	no	—
231	D₄	—	4	4	no	—
232	D₄	—	8	8	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂×C₄	—	8	2	no	—
239	C₂×C₄	—	8	2	no	—
240	C₂×C₄	—	8	4	no	—
241	C₂×C₄	—	8	2	no	—
242	C₂×C₄	—	8	2	no	—
243	C₂×C₄	—	8	2	no	—
244	C₂×C₄	—	8	2	no	—
245	C₂×C₄	—	8	4	no	—
246	C₂×C₄	#461	1	4	yes	—
247	C₂×C₄	#461	1	4	yes	—
248	C₂×C₄	#468	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
259	C₈	—	2	2	no	—
260	C₈	—	2	4	no	—
261	C₈	—	4	4	no	—
262	C₈	—	4	4	no	—
263	C₈	—	8	2	no	—
264	C₈	#492	1	4	yes	complemented
265	C₂²	—	8	2	no	—
266	C₂²	—	8	2	no	—
267	C₂²	—	8	2	no	—
268	C₂²	—	8	4	no	—
269	C₂²	—	8	4	no	—
270	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	C₂×#461	1	2	yes	—
272	C₂²	C₂×#468	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	#3057	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
275	C₄	—	2	2	no	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	8	2	no	—
278	C₄	—	16	2	no	—
279	C₄	—	16	2	no	—
280	C₄	#1691	1	8	yes	complemented
281	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
282	C₄	#3152	1	1	yes	characteristic
283	C₄	#3206	1	2	yes	—
284	C₄	#3272	1	2	yes	—
285	C₄	#3278	1	2	yes	—
286	C₂	—	16	2	no	—
287	C₂	C₂×#1691	1	2	yes	—
288	C₂	#19191	1	2	yes	—
289	C₂	#28438	1	1	yes	characteristic
290	C₂	#28490	1	1	yes	characteristic
291	C₂	#28494	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#127	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33310	C₂	semidirect
5. C₂×#1691	C₂	semidirect
6. #10271	C₂	semidirect
7. #9694	C₂	semidirect
8. #9691	C₂	semidirect
9. C₄×#335	C₂	semidirect
86. #335	D₄	semidirect
154. C₄×C₈	SD₁₆	semidirect
264. C₈	#492	semidirect
280. C₄	#1691	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33310	2
#28509	2
#28438	2
#21681	2
C₂×#1691	2
#10271	2
#9694	2
#9691	2
C₄×#335	2