Subgroups — #321650

Order 512.

1088 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28448	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₈×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1668	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1667	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10262	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10260	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9706	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#496	—	2	2	no	—
11	C₂×#493	—	2	2	no	—
12	C₂×#493	—	2	2	no	—
13	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#460	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2867	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2014	—	2	2	no	—
22	#2011	—	2	2	no	—
23	#1984	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1961	—	2	2	no	—
25	#1954	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1923	—	2	2	no	—
27	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1767	C₂²	1	2	yes	—
29	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1668	—	2	8	no	—
32	#1667	—	2	8	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
36	#1277	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
43	C₂×#127	—	2	4	no	—
44	C₂×#127	—	2	2	no	—
45	C₂×#127	—	2	2	no	—
46	C₂×#127	—	2	4	no	—
47	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×#124	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#496	—	4	8	no	—
52	#493	—	2	4	no	—
53	#493	—	2	4	no	—
54	#493	—	4	4	no	—
55	#493	—	4	8	no	—
56	#493	—	4	8	no	—
57	#460	—	2	8	no	—
58	#460	—	4	4	no	—
59	#459	—	2	8	no	—
60	#459	—	4	4	no	—
61	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
62	C₈×D₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#102	—	2	4	no	—
68	C₂×#102	—	2	4	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×#97	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#391	D₄	1	1	yes	characteristic
78	#390	D₄	1	1	yes	characteristic
79	#388	—	2	2	no	—
80	#382	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#336	—	2	2	no	—
84	#336	—	2	2	no	—
85	#336	—	2	2	no	—
86	#335	D₄	1	8	yes	complemented
87	#331	—	2	8	no	—
88	#331	—	2	8	no	—
89	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
95	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
97	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
98	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
99	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
100	C₂×D₈	—	4	8	no	—
101	C₂×D₈	—	4	8	no	—
102	C₂×D₈	—	4	8	no	—
103	C₂×D₈	—	4	8	no	—
104	C₂×D₈	—	4	8	no	—
105	C₂×D₈	—	4	4	no	—
106	C₂×D₈	—	4	4	no	—
107	C₂×D₈	—	4	8	no	—
108	C₂×D₈	—	4	8	no	—
109	C₂×D₈	—	8	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	#127	—	2	4	no	—
119	#127	—	2	4	no	—
120	#127	—	2	4	no	—
121	#127	—	2	4	no	—
122	#127	—	4	8	no	—
123	#127	—	4	8	no	—
124	#127	—	4	4	no	—
125	#127	—	4	4	no	—
126	#127	—	8	4	no	—
127	#127	—	8	8	no	—
128	#124	—	2	2	no	—
129	#124	D₈	1	4	yes	complemented
130	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
149	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
150	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
151	#102	—	4	8	no	—
152	#102	—	4	8	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
155	#97	—	4	4	no	—
156	C₄×C₈	—	2	4	no	—
157	C₄×C₈	—	2	4	no	—
158	C₄×C₈	—	2	2	no	—
159	C₄×C₈	—	4	2	no	—
160	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	#95	—	2	2	no	—
162	#95	—	2	2	no	—
163	C₂⁴	—	2	1	no	—
164	C₂⁴	—	4	4	no	—
165	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
168	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
169	C₂×D₄	—	2	2	no	—
170	C₂×D₄	—	2	1	no	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	4	no	—
180	C₂×D₄	—	4	8	no	—
181	C₂×D₄	—	4	8	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	8	8	no	—
185	C₂×D₄	—	8	8	no	—
186	C₂×D₄	—	8	8	no	—
187	C₂×D₄	—	8	8	no	—
188	C₂×D₄	—	8	8	no	—
189	C₂×D₄	—	8	8	no	—
190	C₂×D₄	—	8	8	no	—
191	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
204	SD₁₆	—	8	16	no	—
205	D₈	—	8	8	no	—
206	D₈	—	8	16	no	—
207	D₈	—	8	16	no	—
208	D₈	—	8	8	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	8	no	—
213	C₂×C₈	—	4	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	4	no	—
215	C₂×C₈	—	4	1	no	—
216	C₂×C₈	—	4	1	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	8	4	no	—
220	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
223	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	4	1	no	—
235	C₄²	—	4	1	no	—
236	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
237	C₄²	#135	1	2	yes	—
238	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	4	2	no	—
242	C₂³	—	4	1	no	—
243	C₂³	—	4	1	no	—
244	C₂³	—	4	2	no	—
245	C₂³	—	8	8	no	—
246	C₂³	—	8	4	no	—
247	C₂³	—	8	4	no	—
248	C₂³	—	8	4	no	—
249	C₂³	—	8	8	no	—
250	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
251	Q₈	—	2	4	no	—
252	Q₈	—	4	2	no	—
253	D₄	—	2	4	no	—
254	D₄	—	4	2	no	—
255	D₄	—	8	4	no	—
256	D₄	—	8	4	no	—
257	D₄	—	8	8	no	—
258	D₄	—	8	4	no	—
259	D₄	—	8	4	no	—
260	D₄	—	8	4	no	—
261	D₄	—	8	4	no	—
262	D₄	—	16	4	no	—
263	D₄	—	16	4	no	—
264	D₄	—	16	16	no	—
265	D₄	—	16	16	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	1	no	—
276	C₂×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	8	1	no	—
279	C₂×C₄	—	8	1	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	#472	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
292	C₈	—	2	2	no	—
293	C₈	—	2	4	no	—
294	C₈	—	4	8	no	—
295	C₈	—	8	1	no	—
296	C₈	—	8	1	no	—
297	C₈	#496	1	4	yes	complemented
298	C₂²	—	4	4	no	—
299	C₂²	—	4	2	no	—
300	C₂²	—	8	1	no	—
301	C₂²	—	8	1	no	—
302	C₂²	—	8	2	no	—
303	C₂²	—	16	4	no	—
304	C₂²	—	16	8	no	—
305	C₂²	—	16	4	no	—
306	C₂²	—	16	4	no	—
307	C₂²	—	16	8	no	—
308	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#3038	1	2	yes	—
310	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	2	4	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	8	1	no	—
318	C₄	—	8	1	no	—
319	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
321	C₄	#3217	1	2	yes	—
322	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
323	C₄	#3287	1	2	yes	—
324	C₂	—	8	2	no	—
325	C₂	—	32	4	no	—
326	C₂	#19267	1	2	yes	—
327	C₂	#19353	1	2	yes	—
328	C₂	#28448	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#28485	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#28497	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33301	C₂	semidirect
2. #28448	C₂	semidirect
3. C₈×#124	C₂	semidirect
4. C₂×#1668	C₂	semidirect
5. C₂×#1667	C₂	semidirect
6. #10262	C₂	semidirect
7. #10260	C₂	semidirect
8. #9706	C₂	semidirect
9. #8274	C₂	semidirect
86. #335	D₄	semidirect
129. #124	D₈	semidirect
297. C₈	#496	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33301	2
#28448	2
C₈×#124	2
C₂×#1668	2
C₂×#1667	2
#10262	2
#10260	2
#9706	2
#8274	2