Subgroups — #321656

Order 512.

744 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 284 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28519	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₈×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1676	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1675	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10279	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10278	C₂	1	2	yes	maximal
8	#9702	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#477	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#476	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2868	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2096	—	2	2	no	—
19	#2093	—	2	2	no	—
20	#1984	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1959	—	2	2	no	—
22	#1954	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1923	—	2	2	no	—
24	#1847	—	2	2	no	—
25	#1845	—	2	2	no	—
26	#1845	—	2	2	no	—
27	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1767	C₂²	1	2	yes	—
29	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1676	—	2	8	no	—
32	#1675	—	2	8	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
36	#1277	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×#124	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#500	—	2	4	no	—
44	#500	—	2	4	no	—
45	#500	—	4	4	no	—
46	#477	—	2	8	no	—
47	#477	—	4	4	no	—
48	#476	—	2	8	no	—
49	#476	—	4	4	no	—
50	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
51	C₈×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂×#107	—	2	4	no	—
53	C₂×#107	—	2	2	no	—
54	C₂×#107	—	2	2	no	—
55	C₂×#107	—	2	4	no	—
56	C₂×#106	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×#103	—	2	4	no	—
62	C₂×#102	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#391	D₄	1	1	yes	characteristic
72	#390	D₄	1	1	yes	characteristic
73	#388	—	2	2	no	—
74	#384	—	2	2	no	—
75	#384	—	2	4	no	—
76	#384	—	2	2	no	—
77	#382	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#336	—	2	2	no	—
81	#336	—	2	2	no	—
82	#336	—	2	2	no	—
83	#335	D₄	1	8	yes	—
84	#333	—	2	8	no	—
85	#333	—	2	8	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
94	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
95	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Q₈	—	8	8	no	—
103	#124	—	2	2	no	—
104	#124	Q₁₆	1	4	yes	—
105	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₄×D₄	—	2	2	no	—
108	C₄×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	#107	—	4	8	no	—
126	#107	—	4	8	no	—
127	#107	—	4	4	no	—
128	#107	—	4	4	no	—
129	#106	—	4	8	no	—
130	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
133	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
134	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	#103	—	4	8	no	—
136	#102	—	4	8	no	—
137	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
138	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
139	#97	—	4	4	no	—
140	C₄×C₈	—	2	4	no	—
141	C₄×C₈	—	2	4	no	—
142	C₄×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄×C₈	—	4	2	no	—
144	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	#95	—	2	2	no	—
146	#95	—	2	2	no	—
147	C₂⁴	—	2	1	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
152	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
153	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
154	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
155	C₂×D₄	—	2	2	no	—
156	C₂×D₄	—	2	1	no	—
157	C₂×D₄	—	2	2	no	—
158	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	2	8	no	—
176	C₂×C₈	—	4	4	no	—
177	C₂×C₈	—	4	4	no	—
178	C₂×C₈	—	4	1	no	—
179	C₂×C₈	—	4	1	no	—
180	C₂×C₈	—	4	2	no	—
181	C₂×C₈	—	4	2	no	—
182	C₂×C₈	—	8	4	no	—
183	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
184	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
185	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
186	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
195	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
199	C₄²	—	2	2	no	—
200	C₄²	—	2	2	no	—
201	C₄²	—	2	2	no	—
202	C₄²	—	2	4	no	—
203	C₄²	—	4	1	no	—
204	C₄²	—	4	1	no	—
205	C₄²	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
206	C₄²	#135	1	2	yes	—
207	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
208	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	4	2	no	—
211	C₂³	—	4	1	no	—
212	C₂³	—	4	1	no	—
213	C₂³	—	4	2	no	—
214	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
215	Q₈	—	2	4	no	—
216	Q₈	—	4	2	no	—
217	Q₈	—	16	4	no	—
218	Q₈	—	16	4	no	—
219	D₄	—	2	4	no	—
220	D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂×C₄	—	4	1	no	—
232	C₂×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂×C₄	—	8	1	no	—
234	C₂×C₄	—	8	1	no	—
235	C₂×C₄	—	8	2	no	—
236	C₂×C₄	—	8	4	no	—
237	C₂×C₄	—	8	8	no	—
238	C₂×C₄	#467	1	4	yes	—
239	C₂×C₄	#472	1	4	yes	—
240	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
249	C₈	—	2	2	no	—
250	C₈	—	2	4	no	—
251	C₈	—	4	8	no	—
252	C₈	—	8	1	no	—
253	C₈	—	8	1	no	—
254	C₈	#497	1	4	yes	—
255	C₂²	—	4	2	no	—
256	C₂²	—	4	4	no	—
257	C₂²	—	8	1	no	—
258	C₂²	—	8	1	no	—
259	C₂²	—	8	2	no	—
260	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
261	C₂²	#3039	1	2	yes	—
262	C₂²	C₂×#467	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	#3059	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
265	C₄	—	2	4	no	—
266	C₄	—	2	2	no	—
267	C₄	—	2	4	no	—
268	C₄	—	4	2	no	—
269	C₄	—	8	1	no	—
270	C₄	—	8	1	no	—
271	C₄	—	16	4	no	—
272	C₄	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
273	C₄	#3152	1	1	yes	characteristic
274	C₄	#3218	1	2	yes	—
275	C₄	#3283	1	2	yes	—
276	C₄	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
277	C₂	—	8	2	no	—
278	C₂	#19272	1	2	yes	—
279	C₂	#19359	1	2	yes	—
280	C₂	#28449	1	1	yes	characteristic
281	C₂	#28486	1	1	yes	characteristic
282	C₂	#28497	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33312	C₂	semidirect
4. C₂×#1676	C₂	semidirect
6. #10279	C₂	semidirect
8. #9702	C₂	semidirect
9. #8274	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33312	2
#28519	2
C₈×#124	2
C₂×#1676	2
C₂×#1675	2
#10279	2
#10278	2
#9702	2
#8274	2