Subgroups — #321676

Order 512.

887 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 406 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33224	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28448	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21631	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1702	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1701	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10261	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9705	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8273	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#497	—	2	1	no	—
13	C₂×#496	—	2	1	no	—
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2016	—	2	1	no	—
26	#2014	—	2	1	no	—
27	#2013	—	2	1	no	—
28	#2011	—	2	1	no	—
29	#1984	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1961	—	2	1	no	—
31	#1960	—	2	1	no	—
32	#1957	—	2	2	no	—
33	#1957	—	2	2	no	—
34	#1954	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1923	—	2	2	no	—
36	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1753	—	2	2	no	—
40	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1702	—	2	8	no	—
42	#1701	—	2	8	no	—
43	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
48	#1277	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
53	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#127	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	1	no	—
60	C₂×#127	—	2	2	no	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#124	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#497	—	4	4	no	—
66	#496	—	4	4	no	—
67	#486	—	2	4	no	—
68	#486	—	2	4	no	—
69	#486	—	4	2	no	—
70	#486	—	4	2	no	—
71	#462	—	2	4	no	—
72	#462	—	4	2	no	—
73	#461	—	2	4	no	—
74	#461	—	4	2	no	—
75	#460	—	2	4	no	—
76	#460	—	4	2	no	—
77	#459	—	2	4	no	—
78	#459	—	4	2	no	—
79	#446	—	2	4	no	—
80	#436	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#103	—	2	2	no	—
87	C₂×#103	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	C₂×#102	—	2	2	no	—
92	C₂×#102	—	2	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×#97	—	2	1	no	—
96	C₂×#97	—	2	1	no	—
97	C₂×#97	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#391	D₄	1	1	yes	characteristic
103	#390	D₄	1	1	yes	characteristic
104	#388	—	2	2	no	—
105	#384	—	2	2	no	—
106	#384	—	2	2	no	—
107	#382	D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	#336	—	2	2	no	—
111	#336	—	2	2	no	—
112	#336	—	2	1	no	—
113	#336	—	2	1	no	—
114	#334	D₄	1	8	yes	complemented
115	#332	—	2	4	no	—
116	#332	—	2	4	no	—
117	#331	—	2	4	no	—
118	#331	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	—	4	4	no	—
139	C₂×D₈	—	8	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	—	4	4	no	—
161	#127	—	4	4	no	—
162	#127	—	4	2	no	—
163	#127	—	4	2	no	—
164	#127	—	8	2	no	—
165	#127	—	8	4	no	—
166	#124	—	2	2	no	—
167	#124	—	2	2	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄×D₄	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
193	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	#103	—	4	4	no	—
196	#103	—	4	4	no	—
197	#102	—	4	4	no	—
198	#102	—	4	4	no	—
199	#102	—	4	8	no	—
200	#102	—	4	4	no	—
201	#102	—	4	4	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
204	#97	—	4	2	no	—
205	#97	—	4	2	no	—
206	#97	—	4	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	4	2	no	—
209	C₄×C₈	—	4	2	no	—
210	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	#95	—	2	2	no	—
212	#95	—	2	2	no	—
213	C₂⁴	—	2	1	no	—
214	C₂⁴	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	1	no	—
227	C₂×D₄	—	2	1	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	8	4	no	—
242	C₂×D₄	—	8	4	no	—
243	C₂×D₄	—	8	4	no	—
244	C₂×D₄	—	8	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	—	8	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	Q₁₆	—	8	8	no	—
262	SD₁₆	—	8	8	no	—
263	SD₁₆	—	8	8	no	—
264	D₈	—	8	8	no	—
265	M₁₆	—	8	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	—	4	1	no	—
300	C₄²	—	4	1	no	—
301	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
302	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
303	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	—	4	1	no	—
307	C₂³	—	4	1	no	—
308	C₂³	—	4	1	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	8	4	no	—
311	C₂³	—	8	2	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	2	no	—
314	C₂³	—	8	4	no	—
315	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	4	2	no	—
317	Q₈	—	4	2	no	—
318	Q₈	—	8	2	no	—
319	Q₈	—	8	2	no	—
320	Q₈	—	8	2	no	—
321	Q₈	—	8	2	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	D₄	—	4	2	no	—
324	D₄	—	8	2	no	—
325	D₄	—	8	2	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	2	no	—
328	D₄	—	8	2	no	—
329	D₄	—	8	2	no	—
330	D₄	—	8	2	no	—
331	D₄	—	16	2	no	—
332	D₄	—	16	2	no	—
333	D₄	—	16	8	no	—
334	D₄	—	16	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	1	no	—
348	C₂×C₄	—	8	1	no	—
349	C₂×C₄	—	8	2	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	#469	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
364	C₈	—	2	2	no	—
365	C₈	—	2	2	no	—
366	C₈	—	4	2	no	—
367	C₈	—	4	4	no	—
368	C₈	—	4	4	no	—
369	C₈	—	8	1	no	—
370	C₈	—	8	1	no	—
371	C₂²	—	8	1	no	—
372	C₂²	—	8	1	no	—
373	C₂²	—	8	1	no	—
374	C₂²	—	8	2	no	—
375	C₂²	—	8	2	no	—
376	C₂²	—	16	2	no	—
377	C₂²	—	16	2	no	—
378	C₂²	—	16	2	no	—
379	C₂²	—	16	4	no	—
380	C₂²	—	16	4	no	—
381	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#3040	1	2	yes	—
383	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	2	4	no	—
389	C₄	—	8	1	no	—
390	C₄	—	8	1	no	—
391	C₄	—	8	1	no	—
392	C₄	—	16	2	no	—
393	C₄	#3150	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#3153	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#3219	1	2	yes	—
396	C₄	#3274	1	2	yes	—
397	C₄	#3274	1	2	yes	—
398	C₂	—	16	1	no	—
399	C₂	—	32	2	no	—
400	C₂	#19301	1	2	yes	—
401	C₂	#19364	1	2	yes	—
402	C₂	#28446	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#28488	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#28494	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28448	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33224	C₂	semidirect
2. #28449	C₂	semidirect
4. #21631	C₂	semidirect
5. C₂×#1702	C₂	semidirect
6. C₂×#1701	C₂	semidirect
7. #10263	C₂	semidirect
8. #10261	C₂	semidirect
9. #9706	C₂	semidirect
10. #9705	C₂	semidirect
11. #8273	C₂	semidirect
114. #334	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33224	2
#28449	2
#28448	2
#21631	2
C₂×#1702	2
C₂×#1701	2
#10263	2
#10261	2
#9706	2
#9705	2
#8273	2