Subgroups — #321701

Order 512.

861 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28521	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21681	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1691	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1685	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10270	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10267	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9704	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#496	—	2	1	no	—
14	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#487	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#436	—	2	2	no	—
22	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
23	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2092	—	2	2	no	—
27	#2012	—	2	2	no	—
28	#1968	—	2	2	no	—
29	#1968	—	2	2	no	—
30	#1961	—	2	1	no	—
31	#1959	—	2	1	no	—
32	#1954	—	2	2	no	—
33	#1954	C₂²	1	2	yes	—
34	#1847	—	2	1	no	—
35	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1691	—	2	8	no	—
40	#1685	—	2	8	no	—
41	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#124	—	2	1	no	—
58	C₂×#124	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	#498	—	2	4	no	—
62	#496	—	4	4	no	—
63	#492	—	2	4	no	—
64	#487	—	4	2	no	—
65	#486	—	4	2	no	—
66	#476	—	2	4	no	—
67	#476	—	4	2	no	—
68	#474	—	2	4	no	—
69	#474	—	4	2	no	—
70	#461	—	2	4	no	—
71	#461	—	4	2	no	—
72	#459	—	2	4	no	—
73	#459	—	4	2	no	—
74	#436	—	2	4	no	—
75	#436	—	2	4	no	—
76	#436	—	4	8	no	—
77	C₂×#107	—	2	2	no	—
78	C₂×#106	—	2	1	no	—
79	C₂×#106	—	2	1	no	—
80	C₂×#106	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#103	—	2	2	no	—
86	C₂×#103	—	2	2	no	—
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×#97	—	2	1	no	—
94	C₂×#97	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#391	—	2	2	no	—
100	#391	—	2	2	no	—
101	#390	—	2	2	no	—
102	#390	—	2	2	no	—
103	#390	—	2	2	no	—
104	#390	D₄	1	2	yes	—
105	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#382	—	2	1	no	—
107	#382	—	2	1	no	—
108	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#336	—	2	1	no	—
110	#336	—	2	1	no	—
111	#335	D₄	1	8	yes	complemented
112	#333	—	2	4	no	—
113	#332	—	2	4	no	—
114	#332	—	2	4	no	—
115	#331	—	2	4	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
132	C₂×D₈	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	8	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#124	—	4	2	no	—
154	#124	—	4	2	no	—
155	#124	—	8	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	4	4	no	—
161	C₄×D₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	#107	—	4	4	no	—
180	#106	—	4	4	no	—
181	#106	—	4	2	no	—
182	#106	—	4	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
188	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	#103	—	4	4	no	—
191	#103	—	4	4	no	—
192	#102	—	4	4	no	—
193	#102	—	4	4	no	—
194	#102	—	4	4	no	—
195	#102	—	4	4	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
198	#97	—	4	2	no	—
199	#97	—	4	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	4	no	—
201	C₄×C₈	—	2	2	no	—
202	C₄×C₈	—	4	2	no	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	#95	—	4	2	no	—
205	#95	—	4	2	no	—
206	C₂⁴	—	2	2	no	—
207	C₂⁴	—	4	1	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	1	no	—
227	C₂×D₄	—	4	1	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	1	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	1	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	SD₁₆	—	8	4	no	—
251	SD₁₆	—	8	8	no	—
252	SD₁₆	—	8	4	no	—
253	D₈	—	8	8	no	—
254	M₁₆	—	8	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	4	2	no	—
290	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
291	C₄²	#137	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	8	2	no	—
300	C₂³	—	8	1	no	—
301	C₂³	—	8	1	no	—
302	C₂³	—	8	1	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	8	1	no	—
306	Q₈	—	8	1	no	—
307	Q₈	—	8	2	no	—
308	Q₈	—	8	2	no	—
309	Q₈	—	8	2	no	—
310	Q₈	—	16	2	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	8	8	no	—
316	D₄	—	8	1	no	—
317	D₄	—	8	1	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	2	no	—
320	D₄	—	8	2	no	—
321	D₄	—	16	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	1	no	—
335	C₂×C₄	—	8	1	no	—
336	C₂×C₄	—	8	1	no	—
337	C₂×C₄	—	8	1	no	—
338	C₂×C₄	—	8	1	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	#468	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	—	4	4	no	—
354	C₈	—	8	2	no	—
355	C₈	#496	1	4	yes	complemented
356	C₂²	—	8	2	no	—
357	C₂²	—	8	2	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	8	2	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	16	1	no	—
362	C₂²	—	16	1	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	—	16	1	no	—
365	C₂²	—	16	2	no	—
366	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#3036	1	2	yes	—
368	C₂²	C₂×#468	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3057	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3067	1	2	yes	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	8	2	no	—
375	C₄	—	16	1	no	—
376	C₄	—	16	1	no	—
377	C₄	—	16	1	no	—
378	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#3153	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#3214	1	2	yes	—
381	C₄	#3272	1	2	yes	—
382	C₄	#3278	1	2	yes	—
383	C₂	—	16	2	no	—
384	C₂	—	32	1	no	—
385	C₂	#19279	1	2	yes	—
386	C₂	#19334	1	2	yes	—
387	C₂	#28450	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#28490	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#28495	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28450	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33239	C₂	semidirect
2. #28521	C₂	semidirect
4. #21681	C₂	semidirect
5. C₂×#1691	C₂	semidirect
6. C₂×#1685	C₂	semidirect
7. #10270	C₂	semidirect
8. #10267	C₂	semidirect
9. #9704	C₂	semidirect
10. #9701	C₂	semidirect
11. #8274	C₂	semidirect
111. #335	D₄	semidirect
355. C₈	#496	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33239	2
#28521	2
#28450	2
#21681	2
C₂×#1691	2
C₂×#1685	2
#10270	2
#10267	2
#9704	2
#9701	2
#8274	2