Subgroups — #321708

Order 512.

749 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28386	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#28385	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1692	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1686	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10277	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10263	C₂	1	2	yes	maximal
9	#9708	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#8274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#487	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
21	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2096	—	2	1	no	—
25	#2093	—	2	1	no	—
26	#2016	—	2	1	no	—
27	#2013	—	2	1	no	—
28	#1984	C₂²	1	2	yes	—
29	#1973	—	2	2	no	—
30	#1971	—	2	2	no	—
31	#1968	—	2	2	no	—
32	#1968	—	2	2	no	—
33	#1939	—	2	2	no	—
34	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1770	—	2	2	no	—
36	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1692	—	2	8	no	—
40	#1686	—	2	8	no	—
41	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#124	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	#498	—	2	4	no	—
59	#492	—	2	4	no	—
60	#487	—	4	2	no	—
61	#486	—	4	2	no	—
62	#477	—	2	4	no	—
63	#477	—	4	2	no	—
64	#475	—	2	4	no	—
65	#475	—	4	2	no	—
66	#462	—	2	4	no	—
67	#462	—	4	2	no	—
68	#460	—	2	4	no	—
69	#460	—	4	2	no	—
70	#446	—	2	4	no	—
71	#446	—	2	4	no	—
72	C₂×#107	—	2	2	no	—
73	C₂×#106	—	2	1	no	—
74	C₂×#106	—	2	1	no	—
75	C₂×#106	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#103	—	2	2	no	—
82	C₂×#103	—	2	2	no	—
83	C₂×#103	—	2	2	no	—
84	C₂×#103	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	C₂×#97	—	2	2	no	—
88	C₂×#97	—	2	1	no	—
89	C₂×#97	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#391	—	2	1	no	—
95	#391	—	2	2	no	—
96	#391	—	2	1	no	—
97	#391	D₄	1	2	yes	—
98	#390	—	2	1	no	—
99	#390	—	2	2	no	—
100	#390	—	2	1	no	—
101	#389	—	2	2	no	—
102	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
103	#382	—	2	2	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#336	—	2	4	no	—
107	#336	—	2	1	no	—
108	#336	—	2	1	no	—
109	#335	D₄	1	8	yes	—
110	#333	—	2	4	no	—
111	#332	—	2	4	no	—
112	#332	—	2	4	no	—
113	#331	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
144	#127	—	2	2	no	—
145	#127	—	2	2	no	—
146	#124	—	8	4	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	#107	—	4	4	no	—
170	#106	—	4	4	no	—
171	#106	—	4	2	no	—
172	#106	—	4	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
178	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
179	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	#103	—	4	4	no	—
182	#103	—	4	4	no	—
183	#103	—	4	4	no	—
184	#103	—	4	4	no	—
185	#102	—	4	4	no	—
186	#102	—	4	4	no	—
187	#97	—	4	4	no	—
188	#97	—	8	1	no	—
189	#97	—	8	1	no	—
190	C₄×C₈	—	2	4	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	4	2	no	—
193	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	#95	—	4	2	no	—
196	#95	—	4	2	no	—
197	C₂⁴	—	4	1	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
213	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	1	no	—
215	C₂×D₄	—	4	1	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	1	no	—
222	C₂×D₄	—	4	1	no	—
223	C₂×D₄	—	8	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	Q₁₆	—	8	8	no	—
235	SD₁₆	—	8	4	no	—
236	SD₁₆	—	8	8	no	—
237	SD₁₆	—	8	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	1	no	—
273	C₄²	—	2	1	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
279	C₂³	—	8	2	no	—
280	C₂³	—	8	1	no	—
281	C₂³	—	8	1	no	—
282	C₂³	—	8	1	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
285	Q₈	—	4	2	no	—
286	Q₈	—	4	2	no	—
287	Q₈	—	4	2	no	—
288	Q₈	—	4	2	no	—
289	Q₈	—	8	1	no	—
290	Q₈	—	8	1	no	—
291	Q₈	—	8	2	no	—
292	Q₈	—	8	2	no	—
293	Q₈	—	8	2	no	—
294	Q₈	—	16	2	no	—
295	D₄	—	8	1	no	—
296	D₄	—	8	1	no	—
297	D₄	—	8	2	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	D₄	—	8	2	no	—
300	D₄	—	16	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	1	no	—
314	C₂×C₄	—	8	1	no	—
315	C₂×C₄	—	8	1	no	—
316	C₂×C₄	—	8	1	no	—
317	C₂×C₄	—	8	1	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	4	2	no	—
331	C₈	—	4	4	no	—
332	C₈	—	4	4	no	—
333	C₈	—	8	2	no	—
334	C₈	#497	1	4	yes	—
335	C₂²	—	16	1	no	—
336	C₂²	—	16	1	no	—
337	C₂²	—	16	1	no	—
338	C₂²	—	16	2	no	—
339	C₂²	—	16	2	no	—
340	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#3037	1	2	yes	—
342	C₂²	#3054	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#3061	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	8	2	no	—
349	C₄	—	8	2	no	—
350	C₄	—	16	1	no	—
351	C₄	—	16	1	no	—
352	C₄	—	16	1	no	—
353	C₄	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#3153	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#3216	1	2	yes	—
356	C₄	#3273	1	2	yes	—
357	C₄	#3277	1	2	yes	—
358	C₂	—	32	1	no	—
359	C₂	#19288	1	2	yes	—
360	C₂	#19351	1	2	yes	—
361	C₂	#28451	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#28491	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#28494	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#127	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #28385	C₂	semidirect
4. #21712	C₂	semidirect
5. C₂×#1692	C₂	semidirect
7. #10277	C₂	semidirect
9. #9708	C₂	semidirect
11. #8274	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33239	2
#28386	2
#28385	2
#21712	2
C₂×#1692	2
C₂×#1686	2
#10277	2
#10263	2
#9708	2
#9707	2
#8274	2