Subgroups — #321763

Order 512.

983 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#30258	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1681	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1667	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10261	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10260	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9696	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8278	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#496	—	2	1	no	—
13	C₂×#493	—	2	1	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2012	—	2	2	no	—
27	#2011	—	2	2	no	—
28	#2011	—	2	4	no	—
29	#1959	—	2	1	no	—
30	#1957	—	2	1	no	—
31	#1954	C₂²	1	2	yes	—
32	#1869	—	2	4	no	—
33	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1681	—	2	8	no	—
38	#1667	—	2	8	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
44	#1277	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	1	no	—
56	C₂×#127	—	2	2	no	—
57	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#124	—	2	1	no	—
62	C₂×#124	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	#496	—	4	4	no	—
66	#493	—	2	4	no	—
67	#493	—	4	2	no	—
68	#493	—	4	4	no	—
69	#486	—	2	4	no	—
70	#486	—	4	2	no	—
71	#461	—	2	4	no	—
72	#461	—	4	2	no	—
73	#459	—	2	4	no	—
74	#459	—	2	4	no	—
75	#459	—	2	4	no	—
76	#459	—	4	2	no	—
77	#459	—	4	2	no	—
78	#459	—	4	2	no	—
79	C₈×D₄	—	2	4	no	—
80	C₈×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#103	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×#97	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#390	—	2	2	no	—
97	#390	—	2	2	no	—
98	#390	—	2	2	no	—
99	#390	D₄	1	2	yes	—
100	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	1	no	—
104	#336	—	2	1	no	—
105	#336	D₄	1	4	yes	—
106	#335	D₄	1	8	yes	complemented
107	#332	—	2	4	no	—
108	#331	—	2	4	no	—
109	#331	—	2	4	no	—
110	#331	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	C₂×D₈	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	4	4	no	—
135	C₂×D₈	—	4	4	no	—
136	C₂×D₈	—	4	4	no	—
137	C₂×D₈	—	8	4	no	—
138	C₂×D₈	—	8	4	no	—
139	C₂×D₈	—	8	2	no	—
140	C₂×D₈	—	8	2	no	—
141	C₂×D₈	—	8	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	4	2	no	—
159	#127	—	4	2	no	—
160	#127	—	8	4	no	—
161	#127	—	8	2	no	—
162	#127	—	8	4	no	—
163	#127	D₈	1	4	yes	complemented
164	#124	—	4	2	no	—
165	#124	—	4	2	no	—
166	#124	—	8	2	no	—
167	C₄×D₄	—	2	2	no	—
168	C₄×D₄	—	2	2	no	—
169	C₄×D₄	—	2	2	no	—
170	C₄×D₄	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	8	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	#103	—	4	4	no	—
192	#102	—	4	4	no	—
193	#102	—	4	4	no	—
194	#102	—	4	4	no	—
195	#102	—	4	4	no	—
196	#102	—	4	4	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
199	#97	—	4	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	4	2	no	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂⁴	—	2	2	no	—
204	C₂⁴	—	4	1	no	—
205	C₂⁴	—	4	1	no	—
206	C₂⁴	—	4	1	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	1	no	—
218	C₂×D₄	—	4	1	no	—
219	C₂×D₄	—	4	1	no	—
220	C₂×D₄	—	4	1	no	—
221	C₂×D₄	—	4	1	no	—
222	C₂×D₄	—	4	1	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×D₄	—	4	1	no	—
231	C₂×D₄	—	4	1	no	—
232	C₂×D₄	—	4	1	no	—
233	C₂×D₄	—	4	1	no	—
234	C₂×D₄	—	4	1	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	8	2	no	—
242	C₂×D₄	—	8	2	no	—
243	C₂×D₄	—	8	2	no	—
244	C₂×D₄	—	8	2	no	—
245	C₂×D₄	—	8	2	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	—	8	4	no	—
248	C₂×D₄	—	8	4	no	—
249	C₂×D₄	—	8	4	no	—
250	C₂×D₄	—	8	4	no	—
251	C₂×D₄	—	8	4	no	—
252	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	SD₁₆	—	8	8	no	—
265	D₈	—	8	8	no	—
266	D₈	—	8	8	no	—
267	D₈	—	8	8	no	—
268	D₈	—	8	8	no	—
269	D₈	—	8	8	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	8	8	no	—
282	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
298	C₄²	#135	1	2	yes	—
299	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	—	8	2	no	—
309	C₂³	—	8	1	no	—
310	C₂³	—	8	1	no	—
311	C₂³	—	8	1	no	—
312	C₂³	—	8	1	no	—
313	C₂³	—	8	1	no	—
314	C₂³	—	8	1	no	—
315	C₂³	—	8	1	no	—
316	C₂³	—	8	1	no	—
317	C₂³	—	8	1	no	—
318	C₂³	—	8	2	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	—	8	2	no	—
321	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	Q₈	—	8	2	no	—
323	Q₈	—	8	2	no	—
324	D₄	—	2	4	no	—
325	D₄	—	2	4	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	8	8	no	—
329	D₄	—	8	2	no	—
330	D₄	—	8	2	no	—
331	D₄	—	8	2	no	—
332	D₄	—	8	2	no	—
333	D₄	—	8	2	no	—
334	D₄	—	8	2	no	—
335	D₄	—	8	2	no	—
336	D₄	—	8	2	no	—
337	D₄	—	8	2	no	—
338	D₄	—	8	2	no	—
339	D₄	—	8	2	no	—
340	D₄	—	8	2	no	—
341	D₄	—	16	2	no	—
342	D₄	—	16	2	no	—
343	D₄	—	16	2	no	—
344	D₄	—	16	8	no	—
345	D₄	—	16	8	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	1	no	—
358	C₂×C₄	—	8	1	no	—
359	C₂×C₄	—	8	1	no	—
360	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
369	C₈	—	2	4	no	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	4	4	no	—
372	C₈	—	4	4	no	—
373	C₈	—	8	2	no	—
374	C₂²	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	4	8	no	—
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	8	4	no	—
378	C₂²	—	8	2	no	—
379	C₂²	—	16	1	no	—
380	C₂²	—	16	1	no	—
381	C₂²	—	16	1	no	—
382	C₂²	—	16	2	no	—
383	C₂²	—	16	2	no	—
384	C₂²	—	16	2	no	—
385	C₂²	—	16	1	no	—
386	C₂²	—	16	1	no	—
387	C₂²	—	16	1	no	—
388	C₂²	—	16	1	no	—
389	C₂²	—	16	1	no	—
390	C₂²	—	16	1	no	—
391	C₂²	—	16	2	no	—
392	C₂²	—	16	2	no	—
393	C₂²	—	16	2	no	—
394	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#3041	1	2	yes	—
396	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#3068	1	2	yes	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	2	4	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	8	2	no	—
403	C₄	—	16	1	no	—
404	C₄	#3155	1	2	yes	—
405	C₄	#3220	1	2	yes	—
406	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
407	C₄	#3287	1	2	yes	—
408	C₂	—	8	4	no	—
409	C₂	—	32	1	no	—
410	C₂	—	32	1	no	—
411	C₂	—	32	1	no	—
412	C₂	#19386	1	2	yes	—
413	C₂	#19506	1	2	yes	—
414	C₂	#28454	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#28485	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#28500	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #30258	C₂	semidirect
2. #28450	C₂	semidirect
3. #28437	C₂	semidirect
4. #22260	C₂	semidirect
5. C₂×#1681	C₂	semidirect
6. C₂×#1667	C₂	semidirect
7. #10261	C₂	semidirect
8. #10260	C₂	semidirect
9. #9706	C₂	semidirect
10. #9696	C₂	semidirect
11. #8278	C₂	semidirect
106. #335	D₄	semidirect
163. #127	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#30258	2
#28450	2
#28437	2
#22260	2
C₂×#1681	2
C₂×#1667	2
#10261	2
#10260	2
#9706	2
#9696	2
#8278	2