Subgroups — #321764

Order 512.

790 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#30262	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28521	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#28508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#22260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1683	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10275	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9703	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9693	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8278	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#487	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#487	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
21	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2093	—	2	2	no	—
25	#2092	—	2	2	no	—
26	#2016	—	2	4	no	—
27	#1961	—	2	1	no	—
28	#1957	—	2	1	no	—
29	#1954	C₂²	1	2	yes	—
30	#1869	—	2	4	no	—
31	#1847	—	2	1	no	—
32	#1845	—	2	1	no	—
33	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1683	—	2	8	no	—
38	#1669	—	2	8	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
44	#1277	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	#494	—	2	4	no	—
57	#494	—	4	2	no	—
58	#487	—	2	4	no	—
59	#487	—	4	2	no	—
60	#476	—	2	4	no	—
61	#476	—	4	2	no	—
62	#474	—	2	4	no	—
63	#474	—	2	4	no	—
64	#474	—	2	4	no	—
65	#474	—	4	2	no	—
66	#474	—	4	2	no	—
67	#474	—	4	2	no	—
68	C₈×D₄	—	2	4	no	—
69	C₈×D₄	—	2	4	no	—
70	C₂×#107	—	2	2	no	—
71	C₂×#107	—	2	2	no	—
72	C₂×#107	—	2	2	no	—
73	C₂×#106	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#103	—	2	2	no	—
78	C₂×#103	—	2	2	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	2	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×#97	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#391	—	2	2	no	—
90	#391	—	2	2	no	—
91	#390	—	2	2	no	—
92	#390	D₄	1	2	yes	—
93	#384	—	2	1	no	—
94	#384	—	2	1	no	—
95	#384	—	2	2	no	—
96	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
97	#382	—	2	1	no	—
98	#382	—	2	1	no	—
99	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#336	—	2	2	no	—
101	#336	—	2	1	no	—
102	#336	—	2	1	no	—
103	#336	D₄	1	4	yes	—
104	#335	D₄	1	8	yes	complemented
105	#333	—	2	4	no	—
106	#332	—	2	4	no	—
107	#332	—	2	4	no	—
108	#332	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
136	#127	—	2	2	no	—
137	#127	Q₁₆	1	4	yes	complemented
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	—	8	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	#107	—	4	4	no	—
163	#107	—	4	4	no	—
164	#107	—	4	4	no	—
165	#106	—	4	4	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	#103	—	4	4	no	—
173	#103	—	4	4	no	—
174	#102	—	4	4	no	—
175	#102	—	4	4	no	—
176	#102	—	4	4	no	—
177	#102	—	4	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
180	#97	—	4	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	4	2	no	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	#95	—	4	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×D₄	—	8	2	no	—
205	C₂×D₄	—	8	2	no	—
206	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	Q₁₆	—	8	8	no	—
222	Q₁₆	—	8	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	8	8	no	—
235	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
257	C₄²	#135	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
266	Q₈	—	8	2	no	—
267	Q₈	—	8	2	no	—
268	Q₈	—	8	2	no	—
269	Q₈	—	8	2	no	—
270	Q₈	—	8	2	no	—
271	Q₈	—	8	2	no	—
272	Q₈	—	16	2	no	—
273	D₄	—	2	4	no	—
274	D₄	—	2	4	no	—
275	D₄	—	4	2	no	—
276	D₄	—	4	2	no	—
277	D₄	—	8	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	8	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	4	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	1	no	—
293	C₂×C₄	—	8	1	no	—
294	C₂×C₄	—	8	1	no	—
295	C₂×C₄	—	8	1	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	#467	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
306	C₈	—	2	4	no	—
307	C₈	—	4	2	no	—
308	C₈	—	4	4	no	—
309	C₈	—	4	4	no	—
310	C₈	—	8	2	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	4	8	no	—
313	C₂²	—	8	2	no	—
314	C₂²	—	8	4	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#3041	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂×#467	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#3059	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#3069	1	2	yes	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	8	2	no	—
325	C₄	—	16	1	no	—
326	C₄	—	16	1	no	—
327	C₄	—	16	1	no	—
328	C₄	—	16	1	no	—
329	C₄	#3155	1	2	yes	—
330	C₄	#3220	1	2	yes	—
331	C₄	#3283	1	2	yes	—
332	C₄	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
333	C₂	—	8	4	no	—
334	C₂	#19387	1	2	yes	—
335	C₂	#19507	1	2	yes	—
336	C₂	#28454	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#28486	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#28499	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#127	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #30262	C₂	semidirect
5. C₂×#1683	C₂	semidirect
6. C₂×#1669	C₂	semidirect
7. #10275	C₂	semidirect
8. #10274	C₂	semidirect
9. #9703	C₂	semidirect
10. #9693	C₂	semidirect
11. #8278	C₂	semidirect
104. #335	D₄	semidirect
137. #127	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#30262	2
#28521	2
#28508	2
#22260	2
C₂×#1683	2
C₂×#1669	2
#10275	2
#10274	2
#9703	2
#9693	2
#8278	2