Subgroups — #321787

Order 512.

903 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#30258	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28441	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22238	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1668	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10262	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9696	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8278	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#497	—	2	1	no	—
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#492	—	2	1	no	—
16	C₂×#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2015	—	2	2	no	—
27	#2014	—	2	2	no	—
28	#2011	—	2	4	no	—
29	#1984	C₂²	1	2	yes	—
30	#1959	—	2	1	no	—
31	#1957	—	2	1	no	—
32	#1916	—	2	4	no	—
33	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1682	—	2	8	no	—
38	#1668	—	2	8	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
44	#1277	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	1	no	—
56	C₂×#127	—	2	2	no	—
57	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#124	—	2	1	no	—
61	C₂×#124	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	#497	—	4	4	no	—
64	#493	—	2	4	no	—
65	#493	—	4	2	no	—
66	#492	—	4	4	no	—
67	#486	—	2	4	no	—
68	#486	—	4	2	no	—
69	#462	—	2	4	no	—
70	#462	—	4	2	no	—
71	#460	—	2	4	no	—
72	#460	—	2	4	no	—
73	#460	—	2	4	no	—
74	#460	—	4	2	no	—
75	#460	—	4	2	no	—
76	#460	—	4	2	no	—
77	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
78	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#103	—	2	2	no	—
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	C₂×#97	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#391	D₄	1	2	yes	—
95	#390	—	2	2	no	—
96	#390	—	2	2	no	—
97	#389	—	2	2	no	—
98	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#336	—	2	4	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	1	no	—
104	#336	—	2	1	no	—
105	#336	D₄	1	4	yes	—
106	#335	D₄	1	8	yes	complemented
107	#332	—	2	4	no	—
108	#331	—	2	4	no	—
109	#331	—	2	4	no	—
110	#331	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
136	C₂×D₈	—	4	4	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	—	8	4	no	—
139	C₂×D₈	—	8	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	D₈	1	4	yes	complemented
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	4	2	no	—
156	#127	—	4	2	no	—
157	#127	—	8	2	no	—
158	#127	—	8	4	no	—
159	#127	—	8	4	no	—
160	#124	—	4	2	no	—
161	#124	—	4	2	no	—
162	#124	—	8	2	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
186	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	#103	—	4	4	no	—
189	#102	—	4	4	no	—
190	#102	—	4	4	no	—
191	#102	—	4	4	no	—
192	#102	—	4	4	no	—
193	#102	—	4	4	no	—
194	#97	—	4	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	—	4	4	no	—
197	C₄×C₈	—	4	2	no	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	#95	—	2	4	no	—
200	C₂⁴	—	4	1	no	—
201	C₂⁴	—	4	1	no	—
202	C₂⁴	—	4	1	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
213	C₂×D₄	—	4	1	no	—
214	C₂×D₄	—	4	1	no	—
215	C₂×D₄	—	4	1	no	—
216	C₂×D₄	—	4	1	no	—
217	C₂×D₄	—	4	1	no	—
218	C₂×D₄	—	4	1	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	1	no	—
226	C₂×D₄	—	4	1	no	—
227	C₂×D₄	—	4	1	no	—
228	C₂×D₄	—	4	1	no	—
229	C₂×D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×D₄	—	4	1	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	2	no	—
238	C₂×D₄	—	8	2	no	—
239	C₂×D₄	—	8	2	no	—
240	C₂×D₄	—	8	4	no	—
241	C₂×D₄	—	8	4	no	—
242	C₂×D₄	—	8	4	no	—
243	C₂×D₄	—	8	4	no	—
244	C₂×D₄	—	8	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	Q₁₆	—	8	8	no	—
255	SD₁₆	—	8	8	no	—
256	SD₁₆	—	8	8	no	—
257	SD₁₆	—	8	8	no	—
258	D₈	—	8	8	no	—
259	D₈	—	8	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₄²	—	4	2	no	—
288	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
289	C₄²	#135	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	1	no	—
296	C₂³	—	8	1	no	—
297	C₂³	—	8	1	no	—
298	C₂³	—	8	1	no	—
299	C₂³	—	8	1	no	—
300	C₂³	—	8	1	no	—
301	C₂³	—	8	1	no	—
302	C₂³	—	8	1	no	—
303	C₂³	—	8	1	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	2	4	no	—
309	Q₈	—	2	4	no	—
310	Q₈	—	4	2	no	—
311	Q₈	—	4	2	no	—
312	Q₈	—	8	2	no	—
313	Q₈	—	8	2	no	—
314	D₄	—	8	2	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	2	no	—
320	D₄	—	8	2	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	2	no	—
324	D₄	—	8	2	no	—
325	D₄	—	8	2	no	—
326	D₄	—	16	2	no	—
327	D₄	—	16	2	no	—
328	D₄	—	16	2	no	—
329	D₄	—	16	8	no	—
330	D₄	—	16	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	1	no	—
343	C₂×C₄	—	8	1	no	—
344	C₂×C₄	—	8	1	no	—
345	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
354	C₈	—	2	4	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	4	4	no	—
357	C₈	—	4	4	no	—
358	C₈	—	8	2	no	—
359	C₂²	—	16	1	no	—
360	C₂²	—	16	1	no	—
361	C₂²	—	16	1	no	—
362	C₂²	—	16	2	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	—	16	2	no	—
365	C₂²	—	16	1	no	—
366	C₂²	—	16	1	no	—
367	C₂²	—	16	1	no	—
368	C₂²	—	16	1	no	—
369	C₂²	—	16	1	no	—
370	C₂²	—	16	1	no	—
371	C₂²	—	16	2	no	—
372	C₂²	—	16	2	no	—
373	C₂²	—	16	2	no	—
374	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#3043	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#3068	1	2	yes	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	4	no	—
383	C₄	—	8	2	no	—
384	C₄	—	16	1	no	—
385	C₄	#3154	1	2	yes	—
386	C₄	#3222	1	2	yes	—
387	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
388	C₄	#3287	1	2	yes	—
389	C₂	—	32	1	no	—
390	C₂	—	32	1	no	—
391	C₂	—	32	1	no	—
392	C₂	#19398	1	2	yes	—
393	C₂	#19522	1	2	yes	—
394	C₂	#28457	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#28485	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#28500	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#30258	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28451	C₂	semidirect
3. #28441	C₂	semidirect
4. #22238	C₂	semidirect
5. C₂×#1682	C₂	semidirect
6. C₂×#1668	C₂	semidirect
7. #10263	C₂	semidirect
8. #10262	C₂	semidirect
9. #9706	C₂	semidirect
10. #9696	C₂	semidirect
11. #8278	C₂	semidirect
106. #335	D₄	semidirect
148. C₄⋊Q₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#30258	2
#28451	2
#28441	2
#22238	2
C₂×#1682	2
C₂×#1668	2
#10263	2
#10262	2
#9706	2
#9696	2
#8278	2