Subgroups — #321936

Order 512.

951 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33304	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#21706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19661	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#19660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#19187	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#19186	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10284	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9773	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9768	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8268	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3226	C₂²	1	2	yes	—
13	#3205	C₂²	1	2	yes	—
14	#3205	C₂²	1	2	yes	—
15	#3205	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#496	—	2	2	no	—
17	C₂×#496	—	2	2	no	—
18	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#444	—	2	2	no	—
24	#2931	C₂²	1	2	yes	—
25	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1975	—	2	2	no	—
28	#1962	C₂²	1	2	yes	—
29	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1722	—	2	1	no	—
32	#1721	—	2	1	no	—
33	#1721	—	2	2	no	—
34	#1712	—	2	1	no	—
35	#1709	—	2	1	no	—
36	#1706	—	2	2	no	—
37	#1687	—	2	4	no	—
38	#1685	—	2	4	no	—
39	#1667	—	2	4	no	—
40	#1665	—	2	4	no	—
41	#1564	C₂²	1	2	yes	—
42	#1546	C₂²	1	2	yes	—
43	#1545	C₂²	1	2	yes	—
44	#1545	C₂²	1	2	yes	—
45	#1545	C₂²	1	2	yes	—
46	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#1276	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#135	—	2	2	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
51	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
56	C₂×#131	—	2	2	no	—
57	#532	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	—	4	2	no	—
61	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#124	—	2	2	no	—
65	#500	—	2	2	no	—
66	#496	—	4	8	no	—
67	#496	—	4	8	no	—
68	#495	—	2	2	no	—
69	#494	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
70	#493	—	2	2	no	—
71	#493	—	2	2	no	—
72	#493	—	2	2	no	—
73	#493	—	2	2	no	—
74	#493	—	2	2	no	—
75	#493	—	2	1	no	—
76	#493	—	2	1	no	—
77	#493	—	2	2	no	—
78	#493	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
79	#492	—	2	2	no	—
80	#492	—	2	2	no	—
81	#492	—	2	1	no	—
82	#492	—	2	1	no	—
83	#492	—	2	2	no	—
84	#492	D₄	1	2	yes	complemented
85	#486	—	2	2	no	—
86	#486	—	2	2	no	—
87	#486	—	2	2	no	—
88	#486	—	2	2	no	—
89	#480	—	4	2	no	—
90	#474	—	2	4	no	—
91	#459	—	2	4	no	—
92	#459	—	2	4	no	—
93	#459	—	2	4	no	—
94	#447	—	4	2	no	—
95	#447	—	4	2	no	—
96	#447	—	4	2	no	—
97	#444	—	4	8	no	—
98	#436	—	2	2	no	—
99	#436	—	2	2	no	—
100	C₈×D₄	—	2	2	no	—
101	C₈×D₄	—	2	2	no	—
102	#431	C₂³	1	2	yes	—
103	#431	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×#108	—	2	2	no	—
105	#423	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×#104	—	2	4	no	—
107	#408	—	2	2	no	—
108	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
109	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#390	—	4	2	no	—
113	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#335	D₄	1	4	yes	complemented
115	#334	D₄	1	4	yes	complemented
116	#332	—	2	4	no	—
117	#331	—	2	4	no	—
118	#331	—	2	4	no	—
119	#331	—	2	4	no	—
120	#322	—	2	1	no	—
121	#322	—	2	1	no	—
122	C₈²	—	2	1	no	—
123	C₈²	—	2	1	no	—
124	C₂×#41	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
133	#135	—	4	4	no	—
134	#135	—	4	4	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	1	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	1	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
146	C₂×D₈	—	2	2	no	—
147	C₂×D₈	—	4	4	no	—
148	C₂×D₈	—	4	4	no	—
149	C₂×D₈	—	4	4	no	—
150	C₂×D₈	—	4	4	no	—
151	C₂×D₈	—	4	2	no	—
152	C₂×D₈	—	4	2	no	—
153	C₂×D₈	—	4	1	no	—
154	C₂×D₈	—	4	1	no	—
155	C₂×D₈	—	4	2	no	—
156	C₂×D₈	—	4	4	no	—
157	C₂×D₈	—	4	4	no	—
158	C₂×D₈	—	4	4	no	—
159	#131	—	4	8	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
169	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	#127	—	2	2	no	—
171	#127	—	2	2	no	—
172	#127	—	2	2	no	—
173	#127	—	2	1	no	—
174	#127	—	2	1	no	—
175	#127	—	2	1	no	—
176	#127	—	2	1	no	—
177	#127	—	2	1	no	—
178	#127	—	2	1	no	—
179	#127	—	4	4	no	—
180	#127	—	4	4	no	—
181	#127	—	8	8	no	—
182	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	#124	—	2	2	no	—
184	#124	—	4	4	no	—
185	#124	—	4	4	no	—
186	#121	—	2	2	no	—
187	#121	—	2	2	no	—
188	C₄×D₄	—	2	2	no	—
189	C₄×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	#108	—	4	4	no	—
196	#107	—	4	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	#104	—	4	8	no	—
202	#102	—	4	4	no	—
203	#102	—	4	4	no	—
204	#102	—	4	4	no	—
205	#102	—	4	4	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
210	#97	—	2	4	no	—
211	#97	D₈	1	8	yes	complemented
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
219	C₂⁴	—	4	1	no	—
220	C₂⁴	—	4	1	no	—
221	C₂⁴	—	4	1	no	—
222	#41	—	4	4	no	—
223	#41	—	4	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	1	no	—
234	C₂×D₄	—	4	1	no	—
235	C₂×D₄	—	4	1	no	—
236	C₂×D₄	—	4	1	no	—
237	C₂×D₄	—	4	1	no	—
238	C₂×D₄	—	4	1	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	8	4	no	—
252	C₂×D₄	—	8	4	no	—
253	C₂×D₄	—	8	4	no	—
254	C₂×D₄	—	8	8	no	—
255	C₂×D₄	—	8	16	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
261	Q₁₆	—	4	4	no	—
262	SD₁₆	—	4	8	no	—
263	SD₁₆	—	8	2	no	—
264	SD₁₆	—	8	2	no	—
265	SD₁₆	—	8	4	no	—
266	SD₁₆	—	8	4	no	—
267	SD₁₆	—	8	4	no	—
268	D₈	—	4	4	no	—
269	D₈	—	8	2	no	—
270	D₈	—	8	2	no	—
271	D₈	—	8	4	no	—
272	D₈	—	8	4	no	—
273	D₈	—	8	4	no	—
274	D₈	—	16	4	no	—
275	D₈	—	16	4	no	—
276	D₈	—	16	4	no	—
277	M₁₆	—	4	4	no	—
278	M₁₆	—	8	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	8	4	no	—
284	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	4	4	no	—
301	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
302	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	—	8	4	no	—
308	C₂³	—	8	4	no	—
309	C₂³	—	8	2	no	—
310	C₂³	—	8	2	no	—
311	C₂³	—	8	2	no	—
312	C₂³	—	8	1	no	—
313	C₂³	—	8	1	no	—
314	C₂³	—	8	1	no	—
315	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	4	4	no	—
317	Q₈	—	8	1	no	—
318	Q₈	—	8	1	no	—
319	Q₈	—	8	2	no	—
320	D₄	—	4	4	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	8	4	no	—
324	D₄	—	8	1	no	—
325	D₄	—	8	1	no	—
326	D₄	—	8	1	no	—
327	D₄	—	8	1	no	—
328	D₄	—	8	1	no	—
329	D₄	—	8	1	no	—
330	D₄	—	8	2	no	—
331	D₄	—	8	2	no	—
332	D₄	—	8	2	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	D₄	—	8	4	no	—
336	D₄	—	16	2	no	—
337	D₄	—	16	2	no	—
338	D₄	—	16	2	no	—
339	D₄	—	16	16	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	1	no	—
348	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
354	C₈	—	2	1	no	—
355	C₈	—	2	1	no	—
356	C₈	—	4	4	no	—
357	C₈	—	4	4	no	—
358	C₈	—	8	2	no	—
359	C₈	#459	1	4	yes	—
360	C₈	#459	1	4	yes	—
361	C₈	#493	1	4	yes	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	16	4	no	—
367	C₂²	—	16	4	no	—
368	C₂²	—	16	4	no	—
369	C₂²	—	16	1	no	—
370	C₂²	—	16	1	no	—
371	C₂²	—	16	1	no	—
372	C₂²	—	16	2	no	—
373	C₂²	—	16	2	no	—
374	C₂²	—	16	2	no	—
375	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#3205	1	2	yes	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	4	4	no	—
379	C₄	—	8	2	no	—
380	C₄	—	16	1	no	—
381	C₄	C₂×#459	1	2	yes	—
382	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#3288	1	4	yes	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	—	16	2	no	—
387	C₂	—	32	1	no	—
388	C₂	—	32	1	no	—
389	C₂	—	32	1	no	—
390	C₂	#28437	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#28507	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2541
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33304	C₂	semidirect
2. #21706	C₂	semidirect
3. #19661	C₂	semidirect
4. #19660	C₂	semidirect
5. #19187	C₂	semidirect
6. #19186	C₂	semidirect
7. #10284	C₂	semidirect
8. #10280	C₂	semidirect
9. #9773	C₂	semidirect
10. #9768	C₂	semidirect
11. #8268	C₂	semidirect
69. #494	D₄	semidirect
78. #493	D₄	semidirect
84. #492	D₄	semidirect
114. #335	D₄	semidirect
115. #334	D₄	semidirect
211. #97	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33304	2
#21706	2
#19661	2
#19660	2
#19187	2
#19186	2
#10284	2
#10280	2
#9773	2
#9768	2
#8268	2