Subgroups — #322005

Order 512.

988 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28527	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#28458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1665	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10070	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10052	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	—	2	1	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#465	—	2	4	no	—
19	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
22	#2542	C₂²	1	2	yes	—
23	#2541	C₂²	1	2	yes	—
24	#2093	—	2	2	no	—
25	#2011	—	2	2	no	—
26	#2000	—	2	4	no	—
27	#1982	C₂²	1	2	yes	—
28	#1981	C₂²	1	2	yes	—
29	#1970	—	2	1	no	—
30	#1970	—	2	1	no	—
31	#1845	—	2	1	no	—
32	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1706	—	2	4	no	—
36	#1665	—	2	8	no	—
37	C₈×D₈	—	2	4	no	—
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂×#121	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
59	#500	—	2	2	no	—
60	#500	—	2	2	no	—
61	#493	—	2	2	no	—
62	#493	—	2	2	no	—
63	#493	—	4	4	no	—
64	#492	—	2	4	no	—
65	#492	—	2	4	no	—
66	#486	—	2	4	no	—
67	#486	—	4	2	no	—
68	#474	—	2	4	no	—
69	#474	—	4	2	no	—
70	#465	—	4	16	no	—
71	#459	—	2	4	no	—
72	#459	—	4	2	no	—
73	C₄×D₈	—	2	2	no	—
74	C₄×D₈	—	2	2	no	—
75	C₈×D₄	—	2	4	no	—
76	C₈×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂×#107	—	2	1	no	—
78	C₂×#107	—	2	1	no	—
79	C₂×#107	—	2	2	no	—
80	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#103	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	C₂×#102	—	4	2	no	—
90	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#399	—	4	2	no	—
98	#392	—	4	2	no	—
99	#390	—	2	2	no	—
100	#390	—	2	2	no	—
101	#384	—	2	2	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#340	D₄	1	2	yes	—
105	#336	—	2	1	no	—
106	#336	—	2	1	no	—
107	#335	—	2	2	no	—
108	#334	D₄	1	4	yes	complemented
109	#332	—	2	4	no	—
110	#331	—	2	4	no	—
111	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
112	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
113	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
124	C₂×D₈	—	2	2	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	—	4	4	no	—
127	C₂×D₈	—	4	4	no	—
128	C₂×D₈	—	4	2	no	—
129	C₂×D₈	—	4	2	no	—
130	C₂×D₈	—	4	2	no	—
131	C₂×D₈	—	4	2	no	—
132	C₂×D₈	—	8	1	no	—
133	C₂×D₈	—	8	1	no	—
134	C₂×D₈	—	8	2	no	—
135	C₂×D₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	4	4	no	—
155	#127	—	8	2	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
158	#121	—	4	8	no	—
159	#121	—	8	4	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	2	2	no	—
162	C₄×D₄	—	2	2	no	—
163	C₄×D₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	#107	—	2	2	no	—
177	#107	—	4	4	no	—
178	#107	—	4	2	no	—
179	#107	—	4	2	no	—
180	#106	D₈	1	8	yes	complemented
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	#103	—	4	8	no	—
188	#102	—	2	4	no	—
189	#102	—	4	4	no	—
190	#102	—	4	4	no	—
191	#102	—	4	8	no	—
192	#102	—	4	8	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	1	no	—
195	C₄×C₈	—	4	2	no	—
196	C₄×C₈	—	4	2	no	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
202	#95	—	2	1	no	—
203	#95	—	2	1	no	—
204	C₂⁴	—	2	2	no	—
205	C₂⁴	—	4	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	8	4	no	—
228	C₂×D₄	—	8	8	no	—
229	C₂×D₄	—	8	8	no	—
230	C₂×D₄	—	16	4	no	—
231	C₂×D₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
243	SD₁₆	—	8	8	no	—
244	SD₁₆	—	8	8	no	—
245	D₈	—	2	8	no	—
246	D₈	—	8	4	no	—
247	D₈	—	8	8	no	—
248	D₈	—	8	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	1	no	—
258	C₂×C₈	—	4	1	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	8	8	no	—
263	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
279	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
285	C₄²	—	4	1	no	—
286	C₄²	—	4	1	no	—
287	C₄²	—	4	1	no	—
288	C₄²	—	4	1	no	—
289	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	8	4	no	—
299	C₂³	—	8	2	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	—	8	4	no	—
302	C₂³	—	8	2	no	—
303	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	8	4	no	—
305	Q₈	—	8	2	no	—
306	Q₈	—	8	2	no	—
307	D₄	—	2	4	no	—
308	D₄	—	2	4	no	—
309	D₄	—	4	2	no	—
310	D₄	—	4	2	no	—
311	D₄	—	8	4	no	—
312	D₄	—	8	4	no	—
313	D₄	—	8	2	no	—
314	D₄	—	8	2	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	16	2	no	—
320	D₄	—	16	16	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	4	2	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	8	2	no	—
353	C₈	#465	1	4	yes	complemented
354	C₈	#493	1	4	yes	complemented
355	C₂²	—	4	8	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	8	4	no	—
358	C₂²	—	8	2	no	—
359	C₂²	—	8	2	no	—
360	C₂²	—	16	4	no	—
361	C₂²	—	16	4	no	—
362	C₂²	—	16	2	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	—	16	2	no	—
365	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
367	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3290	1	2	yes	—
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	4	4	no	—
373	C₄	—	4	4	no	—
374	C₄	—	8	2	no	—
375	C₄	—	16	2	no	—
376	C₄	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#3057	1	1	yes	characteristic
378	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
380	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#3284	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#3391	1	2	yes	—
383	C₂	—	8	4	no	—
384	C₂	—	32	2	no	—
385	C₂	D₈×SD₁₆	1	2	yes	—
386	C₂	#19972	1	2	yes	—
387	C₂	#28458	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#28482	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#28501	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28458	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28527	C₂	semidirect
2. #28482	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. C₂×#1665	C₂	semidirect
6. C₂×C₈×D₈	C₂	semidirect
7. #10070	C₂	semidirect
8. #10052	C₂	semidirect
9. #9734	C₂	semidirect
10. #9731	C₂	semidirect
11. C₈×#106	C₂	semidirect
108. #334	D₄	semidirect
112. C₈²	D₄	semidirect
135. C₂×D₈	SD₁₆	semidirect
180. #106	D₈	semidirect
353. C₈	#465	semidirect
354. C₈	#493	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28527	2
#28482	2
#28458	2
C₂×#1706	2
C₂×#1665	2
C₂×C₈×D₈	2
#10070	2
#10052	2
#9734	2
#9731	2
C₈×#106	2