Subgroups — #322006

Order 512.

978 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28397	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1665	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10076	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10046	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9738	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#465	—	2	4	no	—
16	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	#2542	C₂²	1	2	yes	—
20	#2541	C₂²	1	2	yes	—
21	#2093	—	2	2	no	—
22	#2011	—	2	2	no	—
23	#2000	—	2	4	no	—
24	#1982	C₂²	1	2	yes	—
25	#1981	C₂²	1	2	yes	—
26	#1970	—	2	2	no	—
27	#1957	—	2	2	no	—
28	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	#1706	—	2	4	no	—
31	#1665	—	2	8	no	—
32	C₈×D₈	—	2	4	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₈	—	4	1	no	—
44	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#127	—	2	2	no	—
48	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×#121	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
52	#500	—	2	2	no	—
53	#500	—	4	1	no	—
54	#493	—	2	2	no	—
55	#493	—	4	1	no	—
56	#492	—	2	4	no	—
57	#492	—	2	4	no	—
58	#486	—	2	4	no	—
59	#486	—	2	4	no	—
60	#474	—	2	4	no	—
61	#474	—	4	2	no	—
62	#465	—	4	16	no	—
63	#459	—	2	4	no	—
64	#459	—	4	2	no	—
65	C₄×D₈	—	2	2	no	—
66	C₄×D₈	—	2	2	no	—
67	C₈×D₄	—	2	4	no	—
68	C₈×D₄	—	2	4	no	—
69	C₂×#107	—	2	2	no	—
70	C₂×#107	—	4	1	no	—
71	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#103	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	C₂×#102	—	2	2	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	2	4	no	—
81	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#399	—	4	2	no	—
88	#392	—	4	2	no	—
89	#390	—	2	2	no	—
90	#390	—	2	2	no	—
91	#384	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	#340	D₄	1	2	yes	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#335	—	2	2	no	—
96	#334	D₄	1	4	yes	complemented
97	#332	—	2	4	no	—
98	#331	—	2	4	no	—
99	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
100	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
106	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
111	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
112	C₂×D₈	—	2	4	no	—
113	C₂×D₈	—	2	2	no	—
114	C₂×D₈	—	4	4	no	—
115	C₂×D₈	—	4	4	no	—
116	C₂×D₈	—	4	4	no	—
117	C₂×D₈	—	8	4	no	—
118	C₂×D₈	—	8	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	#127	—	2	2	no	—
133	#127	—	2	2	no	—
134	#127	—	2	2	no	—
135	#127	—	2	2	no	—
136	#127	—	4	4	no	—
137	#127	—	8	2	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
140	#121	—	4	8	no	—
141	#121	—	8	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	2	2	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#107	—	2	2	no	—
157	#107	—	4	4	no	—
158	#107	—	4	4	no	—
159	#106	D₈	1	8	yes	complemented
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	#103	—	4	8	no	—
165	#102	—	2	4	no	—
166	#102	—	4	4	no	—
167	#102	—	4	4	no	—
168	#102	—	4	4	no	—
169	#102	—	4	4	no	—
170	#102	—	4	8	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	8	2	no	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
179	#95	—	2	2	no	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	4	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	8	4	no	—
204	C₂×D₄	—	8	8	no	—
205	C₂×D₄	—	8	8	no	—
206	C₂×D₄	—	16	4	no	—
207	C₂×D₄	#135	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
218	SD₁₆	—	8	8	no	—
219	SD₁₆	—	8	8	no	—
220	D₈	—	2	8	no	—
221	D₈	—	8	8	no	—
222	D₈	—	8	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	8	8	no	—
234	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
247	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
252	C₄²	—	4	2	no	—
253	C₄²	—	4	2	no	—
254	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	8	4	no	—
264	C₂³	—	8	2	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
269	Q₈	—	8	4	no	—
270	Q₈	—	8	2	no	—
271	Q₈	—	8	2	no	—
272	D₄	—	2	4	no	—
273	D₄	—	2	4	no	—
274	D₄	—	4	2	no	—
275	D₄	—	4	2	no	—
276	D₄	—	8	4	no	—
277	D₄	—	8	4	no	—
278	D₄	—	8	2	no	—
279	D₄	—	8	2	no	—
280	D₄	—	8	2	no	—
281	D₄	—	8	2	no	—
282	D₄	—	8	2	no	—
283	D₄	—	8	2	no	—
284	D₄	—	16	2	no	—
285	D₄	—	16	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
307	C₈	—	2	4	no	—
308	C₈	—	2	2	no	—
309	C₈	—	2	2	no	—
310	C₈	—	2	2	no	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₈	—	8	2	no	—
313	C₈	#493	1	4	yes	—
314	C₂²	—	4	8	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	8	4	no	—
317	C₂²	—	8	2	no	—
318	C₂²	—	8	2	no	—
319	C₂²	—	16	4	no	—
320	C₂²	—	16	4	no	—
321	C₂²	—	16	2	no	—
322	C₂²	—	16	2	no	—
323	C₂²	—	16	2	no	—
324	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
326	C₂²	#3282	1	2	yes	—
327	C₂²	#3291	1	2	yes	—
328	C₄	—	2	1	no	—
329	C₄	—	2	1	no	—
330	C₄	—	4	8	no	—
331	C₄	—	8	2	no	—
332	C₄	—	16	2	no	—
333	C₄	#3050	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#3060	1	1	yes	characteristic
335	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#3282	1	2	yes	—
338	C₄	#3391	1	2	yes	—
339	C₂	—	8	4	no	—
340	C₂	—	32	2	no	—
341	C₂	#19970	1	4	yes	—
342	C₂	#28458	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#28483	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#28502	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28482	C₂	semidirect
2. #28397	C₂	semidirect
3. C₂×#1706	C₂	semidirect
4. C₂×#1665	C₂	semidirect
5. C₂×C₈×D₈	C₂	semidirect
6. #10076	C₂	semidirect
7. #10046	C₂	semidirect
8. #9738	C₂	semidirect
9. C₈×#106	C₂	semidirect
96. #334	D₄	semidirect
100. C₈²	D₄	semidirect
159. #106	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28482	2
#28397	2
C₂×#1706	2
C₂×#1665	2
C₂×C₈×D₈	2
#10076	2
#10046	2
#9738	2
C₈×#106	2