Subgroups — #322008

Order 512.

1130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28485	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28458	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1667	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10046	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9734	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#493	—	2	2	no	—
10	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#466	—	2	4	no	—
14	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#2541	C₂²	1	4	yes	—
18	#2011	—	2	4	no	—
19	#1999	—	2	4	no	—
20	#1982	C₂²	1	4	yes	—
21	#1970	—	2	2	no	—
22	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	#1712	—	2	4	no	—
25	#1667	—	2	8	no	—
26	C₈×D₈	—	2	4	no	—
27	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1279	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
39	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
41	C₂×#127	—	2	4	no	—
42	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×#121	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	#493	—	2	4	no	—
46	#493	—	2	4	no	—
47	#493	—	2	4	no	—
48	#493	—	2	4	no	—
49	#493	—	2	4	no	—
50	#493	—	4	2	no	—
51	#493	—	4	8	no	—
52	#466	—	4	16	no	—
53	#459	—	2	8	no	—
54	#459	—	4	4	no	—
55	C₄×D₈	—	2	2	no	—
56	C₄×D₈	—	2	2	no	—
57	C₈×D₄	—	2	4	no	—
58	C₈×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#102	—	2	4	no	—
64	C₂×#102	—	2	8	no	—
65	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#392	—	4	4	no	—
72	#390	—	2	4	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	#340	D₄	1	2	yes	—
75	#336	—	2	2	no	—
76	#335	—	2	2	no	—
77	#335	D₄	1	4	yes	complemented
78	#331	—	2	8	no	—
79	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
81	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
85	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂×D₈	—	2	2	no	—
88	C₂×D₈	—	2	2	no	—
89	C₂×D₈	—	4	8	no	—
90	C₂×D₈	—	4	8	no	—
91	C₂×D₈	—	4	8	no	—
92	C₂×D₈	—	4	4	no	—
93	C₂×D₈	—	4	4	no	—
94	C₂×D₈	—	4	4	no	—
95	C₂×D₈	—	4	4	no	—
96	C₂×D₈	—	4	8	no	—
97	C₂×D₈	—	4	4	no	—
98	C₂×D₈	—	4	4	no	—
99	C₂×D₈	—	8	4	no	—
100	C₂×D₈	—	8	2	no	—
101	C₂×D₈	—	8	2	no	—
102	C₂×D₈	—	8	8	no	—
103	C₂×D₈	—	8	4	no	—
104	C₂×D₈	D₈	1	4	yes	complemented
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	#127	—	2	4	no	—
115	#127	—	2	4	no	—
116	#127	—	2	4	no	—
117	#127	—	2	4	no	—
118	#127	—	4	8	no	—
119	#127	—	8	4	no	—
120	#121	—	4	16	no	—
121	#121	—	8	8	no	—
122	C₄×D₄	—	2	2	no	—
123	C₄×D₄	—	2	2	no	—
124	C₄×D₄	—	2	2	no	—
125	C₄×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	#107	—	2	2	no	—
133	#107	D₈	1	8	yes	complemented
134	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	#102	—	2	4	no	—
139	#102	—	4	8	no	—
140	#102	—	4	16	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
142	C₄×C₈	—	2	1	no	—
143	C₄×C₈	—	4	4	no	—
144	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
149	#95	—	2	2	no	—
150	C₂⁴	—	2	2	no	—
151	C₂⁴	—	4	4	no	—
152	C₂×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂×D₄	—	2	2	no	—
155	C₂×D₄	—	2	2	no	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	4	4	no	—
158	C₂×D₄	—	4	4	no	—
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	4	4	no	—
162	C₂×D₄	—	4	4	no	—
163	C₂×D₄	—	4	8	no	—
164	C₂×D₄	—	4	4	no	—
165	C₂×D₄	—	4	4	no	—
166	C₂×D₄	—	4	8	no	—
167	C₂×D₄	—	4	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	8	8	no	—
170	C₂×D₄	—	8	16	no	—
171	C₂×D₄	—	8	16	no	—
172	C₂×D₄	—	16	8	no	—
173	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
183	D₈	—	2	8	no	—
184	D₈	—	8	16	no	—
185	D₈	—	8	8	no	—
186	D₈	—	8	8	no	—
187	D₈	—	8	16	no	—
188	D₈	—	8	8	no	—
189	D₈	—	8	8	no	—
190	C₂×C₈	—	2	4	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	1	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	4	no	—
196	C₂×C₈	—	4	2	no	—
197	C₂×C₈	—	4	2	no	—
198	C₂×C₈	—	4	2	no	—
199	C₂×C₈	—	4	4	no	—
200	C₂×C₈	—	8	8	no	—
201	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
202	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
203	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
204	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
205	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
206	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
207	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
215	C₄²	—	4	2	no	—
216	C₄²	—	4	2	no	—
217	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	4	4	no	—
223	C₂³	—	4	2	no	—
224	C₂³	—	4	4	no	—
225	C₂³	—	4	2	no	—
226	C₂³	—	8	8	no	—
227	C₂³	—	8	4	no	—
228	C₂³	—	8	4	no	—
229	C₂³	—	8	8	no	—
230	C₂³	—	8	4	no	—
231	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
232	D₄	—	2	4	no	—
233	D₄	—	2	4	no	—
234	D₄	—	4	2	no	—
235	D₄	—	4	2	no	—
236	D₄	—	8	8	no	—
237	D₄	—	8	8	no	—
238	D₄	—	8	4	no	—
239	D₄	—	8	4	no	—
240	D₄	—	8	4	no	—
241	D₄	—	8	4	no	—
242	D₄	—	8	4	no	—
243	D₄	—	8	4	no	—
244	D₄	—	16	4	no	—
245	D₄	—	16	32	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	8	4	no	—
253	C₂×C₄	—	8	2	no	—
254	C₂×C₄	—	8	2	no	—
255	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
267	C₈	—	2	4	no	—
268	C₈	—	2	2	no	—
269	C₈	—	2	2	no	—
270	C₈	—	4	4	no	—
271	C₈	—	8	2	no	—
272	C₈	#466	1	4	yes	complemented
273	C₈	#493	1	4	yes	complemented
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	—	4	8	no	—
276	C₂²	—	8	4	no	—
277	C₂²	—	8	2	no	—
278	C₂²	—	8	2	no	—
279	C₂²	—	16	8	no	—
280	C₂²	—	16	4	no	—
281	C₂²	—	16	4	no	—
282	C₂²	—	16	4	no	—
283	C₂²	—	16	8	no	—
284	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
286	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	#3292	1	2	yes	—
289	C₄	—	2	1	no	—
290	C₄	—	2	1	no	—
291	C₄	—	4	8	no	—
292	C₄	—	8	2	no	—
293	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
295	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
296	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
297	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
298	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
299	C₄	#3391	1	2	yes	—
300	C₂	—	8	4	no	—
301	C₂	—	32	4	no	—
302	C₂	D₈²	1	2	yes	—
303	C₂	#19975	1	2	yes	—
304	C₂	#28458	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#28485	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#28504	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28485	C₂	semidirect
2. #28458	C₂	semidirect
3. C₂×#1712	C₂	semidirect
4. C₂×#1667	C₂	semidirect
5. C₂×C₈×D₈	C₂	semidirect
6. #10046	C₂	semidirect
7. #9734	C₂	semidirect
8. C₈×#107	C₂	semidirect
77. #335	D₄	semidirect
80. C₈²	D₄	semidirect
104. C₂×D₈	D₈	semidirect
133. #107	D₈	semidirect
272. C₈	#466	semidirect
273. C₈	#493	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28485	2
#28458	2
C₂×#1712	2
C₂×#1667	2
C₂×C₈×D₈	2
#10046	2
#9734	2
C₈×#107	2