Subgroups — #322012

Order 512.

760 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28705	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28704	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28398	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1710	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1675	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1673	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10064	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9737	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2563	C₂²	1	2	yes	—
22	#2547	C₂²	1	2	yes	—
23	#2097	—	2	2	no	—
24	#2076	—	2	2	no	—
25	#2075	—	2	2	no	—
26	#2012	—	2	2	no	—
27	#1988	C₂²	1	2	yes	—
28	#1987	C₂²	1	2	yes	—
29	#1968	—	2	2	no	—
30	#1958	—	2	2	no	—
31	#1808	—	2	2	no	—
32	#1808	—	2	2	no	—
33	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	#1710	—	2	4	no	—
36	#1675	—	2	4	no	—
37	#1673	—	2	4	no	—
38	C₈×D₈	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
50	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#124	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#500	—	2	2	no	—
57	#500	—	2	2	no	—
58	#500	—	2	2	no	—
59	#500	—	2	2	no	—
60	#487	—	2	4	no	—
61	#487	—	2	4	no	—
62	#487	—	2	4	no	—
63	#487	—	4	2	no	—
64	#476	—	2	4	no	—
65	#476	—	4	2	no	—
66	#461	—	2	4	no	—
67	#461	—	4	2	no	—
68	C₄×D₈	—	2	2	no	—
69	C₄×D₈	—	2	2	no	—
70	C₈×D₄	—	2	2	no	—
71	C₈×D₄	—	2	2	no	—
72	C₈×D₄	—	2	2	no	—
73	C₈×D₄	—	2	2	no	—
74	C₂×#107	—	2	1	no	—
75	C₂×#107	—	2	1	no	—
76	C₂×#107	—	2	1	no	—
77	C₂×#107	—	2	1	no	—
78	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#106	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#103	—	2	2	no	—
85	C₂×#103	—	2	2	no	—
86	C₂×#103	—	2	2	no	—
87	C₂×#103	—	4	2	no	—
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#397	—	4	2	no	—
98	#393	—	4	2	no	—
99	#391	—	2	2	no	—
100	#390	—	2	2	no	—
101	#382	—	2	2	no	—
102	#380	—	2	4	no	—
103	#380	—	2	4	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	#340	—	2	4	no	—
106	#340	—	2	4	no	—
107	#340	D₄	1	2	yes	—
108	#336	—	2	2	no	—
109	#335	—	2	2	no	—
110	#335	D₄	1	4	yes	—
111	#333	—	2	4	no	—
112	#332	—	2	4	no	—
113	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
114	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₈²	D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	—	2	2	no	—
127	C₂×D₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	#124	—	4	4	no	—
149	#124	—	8	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	1	no	—
151	C₄×D₄	—	2	1	no	—
152	C₄×D₄	—	2	1	no	—
153	C₄×D₄	—	2	1	no	—
154	C₄×D₄	—	2	1	no	—
155	C₄×D₄	—	2	1	no	—
156	C₄×D₄	—	2	1	no	—
157	C₄×D₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	#107	—	2	2	no	—
172	#107	—	2	4	no	—
173	#107	—	4	2	no	—
174	#107	—	4	2	no	—
175	#107	—	4	2	no	—
176	#107	—	4	2	no	—
177	#106	—	4	4	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	#103	—	4	4	no	—
185	#103	—	4	8	no	—
186	#103	—	4	4	no	—
187	#103	—	4	4	no	—
188	#102	—	2	2	no	—
189	#102	—	2	2	no	—
190	#102	—	4	4	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	8	2	no	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
200	#95	—	2	2	no	—
201	#95	—	4	4	no	—
202	#95	—	4	4	no	—
203	C₂⁴	—	2	1	no	—
204	C₂⁴	—	2	1	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	1	no	—
215	C₂×D₄	—	2	1	no	—
216	C₂×D₄	—	2	1	no	—
217	C₂×D₄	—	2	1	no	—
218	C₂×D₄	—	2	1	no	—
219	C₂×D₄	—	2	1	no	—
220	C₂×D₄	—	2	1	no	—
221	C₂×D₄	—	2	1	no	—
222	C₂×D₄	—	2	1	no	—
223	C₂×D₄	—	2	1	no	—
224	C₂×D₄	#135	1	2	yes	—
225	C₂×D₄	#135	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
242	SD₁₆	—	8	8	no	—
243	D₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	1	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	8	4	no	—
259	C₂×C₈	—	8	4	no	—
260	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	4	1	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	1	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	1	no	—
300	C₂³	—	4	1	no	—
301	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	8	4	no	—
303	Q₈	—	8	2	no	—
304	Q₈	—	8	2	no	—
305	Q₈	—	8	2	no	—
306	Q₈	—	8	2	no	—
307	Q₈	—	16	2	no	—
308	D₄	—	2	2	no	—
309	D₄	—	2	2	no	—
310	D₄	—	2	2	no	—
311	D₄	—	2	2	no	—
312	D₄	—	4	1	no	—
313	D₄	—	4	1	no	—
314	D₄	—	4	1	no	—
315	D₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	1	no	—
327	C₂×C₄	—	8	1	no	—
328	C₂×C₄	—	8	1	no	—
329	C₂×C₄	—	8	1	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	—	8	1	no	—
353	C₈	—	8	1	no	—
354	C₈	#495	1	4	yes	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	8	2	no	—
360	C₂²	—	8	2	no	—
361	C₂²	—	8	1	no	—
362	C₂²	—	8	1	no	—
363	C₂²	—	8	1	no	—
364	C₂²	—	8	1	no	—
365	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3280	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#3283	1	2	yes	—
368	C₂²	#3285	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3290	1	2	yes	—
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	8	4	no	—
373	C₄	—	8	1	no	—
374	C₄	—	8	1	no	—
375	C₄	—	16	2	no	—
376	C₄	—	16	2	no	—
377	C₄	#3050	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3061	1	1	yes	characteristic
379	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#3285	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#3393	1	2	yes	—
384	C₂	—	8	2	no	—
385	C₂	—	8	2	no	—
386	C₂	#19989	1	2	yes	—
387	C₂	#20011	1	2	yes	—
388	C₂	#28459	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#28484	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#28503	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28705	C₂	semidirect
2. #28704	C₂	semidirect
4. C₂×#1710	C₂	semidirect
5. C₂×#1675	C₂	semidirect
6. C₂×#1673	C₂	semidirect
8. #10064	C₂	semidirect
9. #10058	C₂	semidirect
10. #9737	C₂	semidirect
11. C₈×#107	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28705	2
#28704	2
#28398	2
C₂×#1710	2
C₂×#1675	2
C₂×#1673	2
C₂×C₈×D₈	2
#10064	2
#10058	2
#9737	2
C₈×#107	2