Subgroups — #322019

Order 512.

874 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28704	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28460	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1674	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×C₈×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10063	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#495	—	2	2	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2548	C₂²	1	2	yes	—
23	#2547	C₂²	1	2	yes	—
24	#2075	—	2	2	no	—
25	#2054	—	2	2	no	—
26	#2015	—	2	2	no	—
27	#2012	—	2	2	no	—
28	#1988	C₂²	1	2	yes	—
29	#1982	C₂²	1	2	yes	—
30	#1970	—	2	2	no	—
31	#1968	—	2	2	no	—
32	#1808	—	2	2	no	—
33	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	#1706	—	2	4	no	—
36	#1674	—	2	4	no	—
37	#1667	—	2	4	no	—
38	C₈×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×SD₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#124	—	2	2	no	—
58	C₂×#124	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#500	—	2	2	no	—
62	#500	—	2	2	no	—
63	#495	—	4	8	no	—
64	#493	—	2	2	no	—
65	#493	—	2	2	no	—
66	#492	—	2	4	no	—
67	#492	—	2	4	no	—
68	#486	—	2	4	no	—
69	#486	—	4	2	no	—
70	#462	—	2	4	no	—
71	#462	—	4	2	no	—
72	#459	—	2	4	no	—
73	#459	—	4	2	no	—
74	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
75	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
76	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
77	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
78	C₈×D₄	—	2	2	no	—
79	C₈×D₄	—	2	2	no	—
80	C₂×#107	—	2	1	no	—
81	C₂×#107	—	2	1	no	—
82	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#103	—	2	2	no	—
89	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	4	2	no	—
93	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#397	—	4	2	no	—
101	#394	—	4	2	no	—
102	#391	—	2	2	no	—
103	#390	—	2	4	no	—
104	#390	—	2	2	no	—
105	#380	—	2	4	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	#340	D₄	1	2	yes	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#335	D₄	1	4	yes	—
111	#334	—	2	2	no	—
112	#332	—	2	4	no	—
113	#331	—	2	4	no	—
114	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
115	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
116	C₈²	D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
135	C₂×SD₁₆	D₈	1	4	yes	complemented
136	C₂×D₈	—	4	4	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	—	4	2	no	—
139	C₂×D₈	—	4	2	no	—
140	C₂×D₈	—	4	4	no	—
141	C₂×D₈	—	8	2	no	—
142	C₂×D₈	—	8	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	—	2	2	no	—
161	#124	—	4	4	no	—
162	#124	—	4	4	no	—
163	#124	—	8	2	no	—
164	#124	—	8	2	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
169	C₄×D₄	—	2	1	no	—
170	C₄×D₄	—	2	1	no	—
171	C₄×D₄	—	2	1	no	—
172	C₄×D₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	#107	—	2	4	no	—
187	#107	—	4	2	no	—
188	#107	—	4	2	no	—
189	#106	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
196	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	#103	—	2	2	no	—
198	#103	—	4	4	no	—
199	#102	—	2	2	no	—
200	#102	—	4	4	no	—
201	#102	—	4	8	no	—
202	#102	—	8	4	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	1	no	—
205	C₄×C₈	—	4	2	no	—
206	C₄×C₈	—	4	4	no	—
207	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
212	#95	—	2	2	no	—
213	#95	—	4	4	no	—
214	C₂⁴	—	2	1	no	—
215	C₂⁴	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
228	C₂×D₄	—	2	1	no	—
229	C₂×D₄	—	2	1	no	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	1	no	—
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
259	Q₁₆	—	8	8	no	—
260	SD₁₆	—	2	8	no	—
261	SD₁₆	—	8	8	no	—
262	SD₁₆	—	8	8	no	—
263	D₈	—	8	4	no	—
264	D₈	—	8	8	no	—
265	D₈	—	8	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	8	4	no	—
279	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
286	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
303	C₄²	—	4	1	no	—
304	C₄²	—	4	1	no	—
305	C₄²	—	4	2	no	—
306	C₄²	—	4	2	no	—
307	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	1	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	1	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	—	8	4	no	—
318	C₂³	—	8	2	no	—
319	C₂³	—	8	4	no	—
320	C₂³	—	8	2	no	—
321	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
322	Q₈	—	2	2	no	—
323	Q₈	—	2	2	no	—
324	Q₈	—	4	1	no	—
325	Q₈	—	4	1	no	—
326	Q₈	—	8	2	no	—
327	Q₈	—	8	2	no	—
328	Q₈	—	8	2	no	—
329	Q₈	—	8	2	no	—
330	D₄	—	2	2	no	—
331	D₄	—	2	2	no	—
332	D₄	—	4	1	no	—
333	D₄	—	4	1	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	D₄	—	8	4	no	—
336	D₄	—	8	2	no	—
337	D₄	—	8	2	no	—
338	D₄	—	8	2	no	—
339	D₄	—	8	2	no	—
340	D₄	—	8	2	no	—
341	D₄	—	8	2	no	—
342	D₄	—	16	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	1	no	—
353	C₂×C₄	—	4	1	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	1	no	—
356	C₂×C₄	—	8	1	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
372	C₈	—	2	2	no	—
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	—	4	2	no	—
375	C₈	—	4	4	no	—
376	C₈	—	8	1	no	—
377	C₈	—	8	1	no	—
378	C₈	#466	1	4	yes	—
379	C₈	#495	1	4	yes	complemented
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	8	1	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	8	1	no	—
385	C₂²	—	16	4	no	—
386	C₂²	—	16	2	no	—
387	C₂²	—	16	4	no	—
388	C₂²	—	16	2	no	—
389	C₂²	—	16	2	no	—
390	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#3284	1	2	yes	—
393	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#3290	1	2	yes	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	2	1	no	—
397	C₄	—	4	2	no	—
398	C₄	—	8	4	no	—
399	C₄	—	8	1	no	—
400	C₄	—	8	1	no	—
401	C₄	—	16	2	no	—
402	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
404	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#3154	1	1	yes	characteristic
406	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3394	1	2	yes	—
409	C₂	—	8	2	no	—
410	C₂	—	32	2	no	—
411	C₂	#19972	1	2	yes	—
412	C₂	#20018	1	2	yes	—
413	C₂	#28460	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#28485	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#28503	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1667	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28736	C₂	semidirect
2. #28704	C₂	semidirect
3. #28460	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. C₂×#1674	C₂	semidirect
7. C₂×C₈×SD₁₆	C₂	semidirect
8. #10063	C₂	semidirect
9. #10050	C₂	semidirect
10. #9732	C₂	semidirect
11. C₈×#107	C₂	semidirect
135. C₂×SD₁₆	D₈	semidirect
379. C₈	#495	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28736	2
#28704	2
#28460	2
C₂×#1706	2
C₂×#1674	2
C₂×#1667	2
C₂×C₈×SD₁₆	2
#10063	2
#10050	2
#9732	2
C₈×#107	2