Subgroups — #322027

Order 512.

742 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28677	C₂	1	2	yes	maximal
2	#28531	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#28462	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1672	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂×C₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10065	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10059	C₂	1	2	yes	maximal
9	#9733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#9730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#494	—	2	1	no	—
15	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2567	C₂²	1	2	yes	—
22	#2546	C₂²	1	2	yes	—
23	#2095	—	2	2	no	—
24	#2088	—	2	4	no	—
25	#2016	—	2	2	no	—
26	#1988	C₂²	1	2	yes	—
27	#1987	C₂²	1	2	yes	—
28	#1969	—	2	1	no	—
29	#1969	—	2	1	no	—
30	#1941	—	2	4	no	—
31	#1845	—	2	1	no	—
32	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1707	—	2	4	no	—
36	#1672	—	2	8	no	—
37	C₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	#500	—	2	2	no	—
55	#500	—	2	2	no	—
56	#498	—	2	4	no	—
57	#498	—	2	4	no	—
58	#494	—	2	2	no	—
59	#494	—	2	2	no	—
60	#494	—	4	4	no	—
61	#487	—	2	4	no	—
62	#487	—	4	2	no	—
63	#477	—	2	4	no	—
64	#477	—	4	2	no	—
65	#462	—	2	4	no	—
66	#462	—	4	2	no	—
67	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
68	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
69	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
70	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
71	C₂×#107	—	2	1	no	—
72	C₂×#107	—	2	1	no	—
73	C₂×#107	—	2	2	no	—
74	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#106	—	2	2	no	—
76	C₂×#106	—	2	2	no	—
77	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#103	—	2	2	no	—
83	C₂×#103	—	2	2	no	—
84	C₂×#103	—	4	2	no	—
85	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#398	—	4	2	no	—
93	#395	—	4	2	no	—
94	#391	—	2	2	no	—
95	#391	—	2	2	no	—
96	#389	—	2	4	no	—
97	#389	—	2	4	no	—
98	#384	—	2	2	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#340	—	2	4	no	—
102	#340	—	2	4	no	—
103	#340	D₄	1	2	yes	—
104	#336	—	2	1	no	—
105	#336	—	2	1	no	—
106	#335	—	2	2	no	—
107	#334	D₄	1	4	yes	—
108	#333	—	2	4	no	—
109	#332	—	2	4	no	—
110	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
111	C₈²	D₄	1	4	yes	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	SD₁₆	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	#107	—	2	2	no	—
164	#107	—	4	4	no	—
165	#107	—	4	2	no	—
166	#107	—	4	2	no	—
167	#106	—	4	4	no	—
168	#106	—	4	4	no	—
169	#106	Q₁₆	1	8	yes	complemented
170	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
175	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	#103	—	2	4	no	—
178	#103	—	4	4	no	—
179	#103	—	4	4	no	—
180	#103	—	4	8	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	4	4	no	—
183	C₄×C₈	—	4	2	no	—
184	C₄×C₈	—	4	2	no	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
190	#95	—	2	1	no	—
191	#95	—	2	1	no	—
192	#95	—	4	4	no	—
193	#95	—	4	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
208	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
218	Q₁₆	—	2	8	no	—
219	Q₁₆	—	8	4	no	—
220	Q₁₆	—	8	8	no	—
221	Q₁₆	—	8	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	1	no	—
230	C₂×C₈	—	4	1	no	—
231	C₂×C₈	—	4	1	no	—
232	C₂×C₈	—	4	1	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
258	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
259	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	1	no	—
263	C₄²	—	4	1	no	—
264	C₄²	—	4	1	no	—
265	C₄²	—	4	1	no	—
266	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
271	Q₈	—	2	4	no	—
272	Q₈	—	2	4	no	—
273	Q₈	—	4	2	no	—
274	Q₈	—	4	2	no	—
275	Q₈	—	8	4	no	—
276	Q₈	—	8	2	no	—
277	Q₈	—	8	2	no	—
278	Q₈	—	8	2	no	—
279	Q₈	—	8	2	no	—
280	Q₈	—	16	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
310	C₈	—	2	2	no	—
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	4	2	no	—
313	C₈	—	4	2	no	—
314	C₈	—	4	2	no	—
315	C₈	—	8	2	no	—
316	C₈	#465	1	4	yes	—
317	C₈	#494	1	4	yes	complemented
318	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
322	C₂²	#3290	1	2	yes	—
323	C₄	—	2	1	no	—
324	C₄	—	2	1	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	—	4	4	no	—
327	C₄	—	4	4	no	—
328	C₄	—	8	2	no	—
329	C₄	—	16	2	no	—
330	C₄	—	16	2	no	—
331	C₄	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
332	C₄	#3057	1	1	yes	characteristic
333	C₄	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
335	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#3284	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#3395	1	2	yes	—
338	C₂	SD₁₆×Q₁₆	1	2	yes	—
339	C₂	#20007	1	2	yes	—
340	C₂	#28462	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#28482	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#28501	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
169. #106	Q₁₆	semidirect
317. C₈	#494	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28677	2
#28531	2
#28462	2
C₂×#1707	2
C₂×#1672	2
C₂×C₈×Q₁₆	2
#10065	2
#10059	2
#9733	2
#9730	2
C₈×#106	2