Subgroups — #322045

Order 512.

912 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28528	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1677	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10054	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10048	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	—	2	1	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
21	#2563	C₂²	1	2	yes	—
22	#2541	C₂²	1	2	yes	—
23	#2092	—	2	2	no	—
24	#2034	—	2	4	no	—
25	#2011	—	2	2	no	—
26	#1987	C₂²	1	2	yes	—
27	#1982	C₂²	1	2	yes	—
28	#1970	—	2	1	no	—
29	#1970	—	2	1	no	—
30	#1893	—	2	4	no	—
31	#1846	—	2	1	no	—
32	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1706	—	2	4	no	—
36	#1677	—	2	8	no	—
37	C₈×D₈	—	2	4	no	—
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×SD₁₆	—	4	2	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#121	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	#500	—	2	2	no	—
58	#500	—	2	2	no	—
59	#493	—	2	2	no	—
60	#493	—	2	2	no	—
61	#493	—	4	4	no	—
62	#492	—	2	4	no	—
63	#492	—	4	2	no	—
64	#486	—	2	4	no	—
65	#486	—	2	4	no	—
66	#476	—	2	4	no	—
67	#476	—	4	2	no	—
68	#459	—	2	4	no	—
69	#459	—	4	2	no	—
70	C₄×D₈	—	2	2	no	—
71	C₄×D₈	—	2	2	no	—
72	C₈×D₄	—	2	4	no	—
73	C₈×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂×#107	—	2	1	no	—
75	C₂×#107	—	2	1	no	—
76	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#106	—	2	2	no	—
78	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#102	—	2	2	no	—
83	C₂×#102	—	2	2	no	—
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#393	—	4	2	no	—
95	#392	—	4	2	no	—
96	#390	—	2	2	no	—
97	#390	—	2	2	no	—
98	#382	—	2	2	no	—
99	#380	—	2	4	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#340	—	2	4	no	—
103	#340	D₄	1	2	yes	—
104	#336	—	2	1	no	—
105	#336	—	2	1	no	—
106	#335	—	2	2	no	—
107	#334	D₄	1	4	yes	complemented
108	#333	—	2	4	no	—
109	#331	—	2	4	no	—
110	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
111	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	4	4	no	—
124	C₂×D₈	—	4	4	no	—
125	C₂×D₈	—	4	2	no	—
126	C₂×D₈	—	4	2	no	—
127	C₂×D₈	—	4	2	no	—
128	C₂×D₈	—	4	2	no	—
129	C₂×D₈	—	8	1	no	—
130	C₂×D₈	—	8	1	no	—
131	C₂×D₈	—	8	2	no	—
132	C₂×D₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	—	4	4	no	—
152	#127	—	8	2	no	—
153	#121	—	4	8	no	—
154	#121	—	8	4	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	#107	—	2	2	no	—
171	#107	—	4	2	no	—
172	#107	—	4	2	no	—
173	#106	—	2	4	no	—
174	#106	—	4	4	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	#102	—	2	4	no	—
182	#102	—	4	4	no	—
183	#102	—	4	4	no	—
184	#102	—	4	4	no	—
185	#102	—	4	4	no	—
186	#102	—	8	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
188	C₄×C₈	—	2	1	no	—
189	C₄×C₈	—	4	2	no	—
190	C₄×C₈	—	4	2	no	—
191	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
196	#95	—	2	1	no	—
197	#95	—	2	1	no	—
198	#95	—	4	4	no	—
199	C₂⁴	—	2	2	no	—
200	C₂⁴	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	8	4	no	—
222	C₂×D₄	—	8	8	no	—
223	C₂×D₄	—	8	8	no	—
224	C₂×D₄	—	16	4	no	—
225	C₂×D₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
237	SD₁₆	—	8	16	no	—
238	D₈	—	2	8	no	—
239	D₈	—	8	4	no	—
240	D₈	—	8	8	no	—
241	D₈	—	8	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	—	4	1	no	—
253	C₂×C₈	—	4	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	8	8	no	—
257	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
277	C₄²	—	4	1	no	—
278	C₄²	—	4	1	no	—
279	C₄²	—	4	1	no	—
280	C₄²	—	4	1	no	—
281	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	8	4	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	8	4	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	8	4	no	—
297	Q₈	—	16	2	no	—
298	D₄	—	2	4	no	—
299	D₄	—	2	4	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	D₄	—	4	2	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	D₄	—	8	4	no	—
304	D₄	—	8	2	no	—
305	D₄	—	8	2	no	—
306	D₄	—	8	2	no	—
307	D₄	—	8	2	no	—
308	D₄	—	8	2	no	—
309	D₄	—	8	2	no	—
310	D₄	—	16	2	no	—
311	D₄	—	16	16	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
338	C₈	—	2	4	no	—
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	—	2	2	no	—
341	C₈	—	2	2	no	—
342	C₈	—	4	2	no	—
343	C₈	—	4	2	no	—
344	C₈	—	8	2	no	—
345	C₈	#465	1	4	yes	—
346	C₂²	—	4	8	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	8	4	no	—
349	C₂²	—	8	2	no	—
350	C₂²	—	8	2	no	—
351	C₂²	—	16	4	no	—
352	C₂²	—	16	4	no	—
353	C₂²	—	16	2	no	—
354	C₂²	—	16	2	no	—
355	C₂²	—	16	2	no	—
356	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#3280	1	2	yes	—
358	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#3292	1	2	yes	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	2	1	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	8	2	no	—
365	C₄	—	8	2	no	—
366	C₄	—	16	2	no	—
367	C₄	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#3057	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
371	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#3284	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#3396	1	2	yes	—
374	C₂	—	8	4	no	—
375	C₂	—	32	2	no	—
376	C₂	#19976	1	2	yes	—
377	C₂	#19994	1	2	yes	—
378	C₂	#28465	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#28482	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#28504	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28458	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28599	C₂	semidirect
2. #28528	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. C₂×#1677	C₂	semidirect
6. C₂×C₈×D₈	C₂	semidirect
7. #10054	C₂	semidirect
8. #10048	C₂	semidirect
9. #9734	C₂	semidirect
10. #9730	C₂	semidirect
11. C₈×#106	C₂	semidirect
107. #334	D₄	semidirect
111. C₈²	D₄	semidirect
132. C₂×D₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28599	2
#28528	2
#28458	2
C₂×#1706	2
C₂×#1677	2
C₂×C₈×D₈	2
#10054	2
#10048	2
#9734	2
#9730	2
C₈×#106	2