Subgroups — #322084

Order 512.

774 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28743	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#28402	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1688	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10071	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10053	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9738	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2568	C₂²	1	2	yes	—
22	#2548	C₂²	1	2	yes	—
23	#2092	—	2	2	no	—
24	#2056	—	2	2	no	—
25	#2054	—	2	2	no	—
26	#2015	—	2	2	no	—
27	#1982	C₂²	1	2	yes	—
28	#1981	C₂²	1	2	yes	—
29	#1972	—	2	2	no	—
30	#1971	—	2	2	no	—
31	#1968	—	2	2	no	—
32	#1958	—	2	2	no	—
33	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	#1709	—	2	4	no	—
36	#1690	—	2	4	no	—
37	#1688	—	2	4	no	—
38	#1591	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#124	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#494	—	2	2	no	—
59	#494	—	2	2	no	—
60	#493	—	2	2	no	—
61	#493	—	2	2	no	—
62	#486	—	2	4	no	—
63	#486	—	2	4	no	—
64	#486	—	2	4	no	—
65	#486	—	4	2	no	—
66	#475	—	2	4	no	—
67	#475	—	4	2	no	—
68	#460	—	2	4	no	—
69	#460	—	4	2	no	—
70	#446	—	2	2	no	—
71	#446	—	2	2	no	—
72	#446	—	2	2	no	—
73	#446	—	2	2	no	—
74	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
75	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#106	—	2	2	no	—
78	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#103	—	2	2	no	—
85	C₂×#103	—	2	4	no	—
86	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	4	2	no	—
93	C₂×#97	—	2	1	no	—
94	C₂×#97	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#400	—	4	2	no	—
100	#394	—	4	2	no	—
101	#391	—	2	2	no	—
102	#391	—	2	4	no	—
103	#390	—	2	4	no	—
104	#390	—	2	2	no	—
105	#382	—	2	2	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	#340	D₄	1	2	yes	—
108	#336	—	2	2	no	—
109	#335	—	2	2	no	—
110	#334	D₄	1	4	yes	—
111	#332	—	2	4	no	—
112	#331	—	2	4	no	—
113	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
114	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₈²	D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
131	C₂×D₈	—	4	2	no	—
132	C₂×D₈	—	4	2	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	8	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#124	—	4	4	no	—
152	#124	—	8	2	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	#107	—	2	2	no	—
175	#106	—	2	4	no	—
176	#106	—	4	4	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
184	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	#103	—	2	2	no	—
186	#103	—	2	2	no	—
187	#103	—	4	4	no	—
188	#103	—	8	4	no	—
189	#102	—	4	4	no	—
190	#102	—	4	8	no	—
191	#102	—	4	4	no	—
192	#102	—	4	4	no	—
193	#102	—	8	4	no	—
194	#97	—	4	2	no	—
195	#97	—	4	2	no	—
196	C₄×C₈	—	2	1	no	—
197	C₄×C₈	—	8	2	no	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
203	#95	—	2	2	no	—
204	#95	—	4	4	no	—
205	#95	—	4	4	no	—
206	C₂⁴	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	8	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
241	Q₁₆	—	4	4	no	—
242	Q₁₆	—	8	4	no	—
243	Q₁₆	—	8	4	no	—
244	SD₁₆	—	8	8	no	—
245	D₈	—	8	4	no	—
246	D₈	—	8	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
280	C₄²	—	4	1	no	—
281	C₄²	—	4	1	no	—
282	C₄²	—	4	1	no	—
283	C₄²	—	4	1	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	—	8	4	no	—
293	C₂³	—	8	4	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	4	2	no	—
297	Q₈	—	4	2	no	—
298	Q₈	—	4	1	no	—
299	Q₈	—	4	1	no	—
300	Q₈	—	4	1	no	—
301	Q₈	—	4	1	no	—
302	Q₈	—	8	4	no	—
303	Q₈	—	8	2	no	—
304	Q₈	—	8	2	no	—
305	D₄	—	8	4	no	—
306	D₄	—	8	4	no	—
307	D₄	—	8	2	no	—
308	D₄	—	8	2	no	—
309	D₄	—	8	2	no	—
310	D₄	—	8	2	no	—
311	D₄	—	8	2	no	—
312	D₄	—	8	2	no	—
313	D₄	—	16	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	4	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
338	C₈	—	2	2	no	—
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	—	2	2	no	—
341	C₈	—	4	2	no	—
342	C₈	—	4	4	no	—
343	C₈	—	8	1	no	—
344	C₈	—	8	1	no	—
345	C₈	#495	1	4	yes	—
346	C₂²	—	16	2	no	—
347	C₂²	—	16	2	no	—
348	C₂²	—	16	2	no	—
349	C₂²	—	16	4	no	—
350	C₂²	—	16	4	no	—
351	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#3275	1	2	yes	—
353	C₂²	#3287	1	2	yes	—
354	C₂²	#3290	1	2	yes	—
355	C₄	—	2	1	no	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	8	1	no	—
358	C₄	—	8	1	no	—
359	C₄	—	8	1	no	—
360	C₄	—	8	1	no	—
361	C₄	—	8	4	no	—
362	C₄	—	16	2	no	—
363	C₄	#3054	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#3060	1	1	yes	characteristic
365	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#3275	1	2	yes	—
368	C₄	#3396	1	2	yes	—
369	C₂	—	32	2	no	—
370	C₂	#19963	1	4	yes	—
371	C₂	#28463	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#28487	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#28503	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28744	C₂	semidirect
3. #28402	C₂	semidirect
5. C₂×#1690	C₂	semidirect
7. C₂×#1591	C₂	semidirect
8. #10071	C₂	semidirect
9. #10053	C₂	semidirect
10. #9738	C₂	semidirect
11. C₈×#106	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28744	2
#28743	2
#28402	2
C₂×#1709	2
C₂×#1690	2
C₂×#1688	2
C₂×#1591	2
#10071	2
#10053	2
#9738	2
C₈×#106	2