Subgroups — #322088

Order 512.

790 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28745	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28402	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1686	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10077	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10047	C₂	1	2	yes	maximal
8	#9738	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2568	C₂²	1	2	yes	—
19	#2548	C₂²	1	2	yes	—
20	#2092	—	2	2	no	—
21	#2055	—	2	4	no	—
22	#2015	—	2	2	no	—
23	#1982	C₂²	1	2	yes	—
24	#1981	C₂²	1	2	yes	—
25	#1973	—	2	4	no	—
26	#1968	—	2	2	no	—
27	#1958	—	2	2	no	—
28	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	#1706	—	2	4	no	—
31	#1686	—	2	8	no	—
32	#1591	—	2	4	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	—	4	1	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#124	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	#500	—	2	2	no	—
50	#500	—	4	1	no	—
51	#493	—	2	2	no	—
52	#493	—	4	1	no	—
53	#492	—	2	4	no	—
54	#492	—	2	4	no	—
55	#486	—	2	4	no	—
56	#486	—	2	4	no	—
57	#475	—	2	4	no	—
58	#475	—	4	2	no	—
59	#460	—	2	4	no	—
60	#460	—	4	2	no	—
61	#446	—	2	4	no	—
62	#446	—	2	4	no	—
63	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
64	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
65	C₂×#107	—	4	1	no	—
66	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×#106	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#103	—	2	2	no	—
73	C₂×#103	—	2	4	no	—
74	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×#102	—	2	2	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×#97	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#400	—	4	2	no	—
85	#394	—	4	2	no	—
86	#391	—	2	2	no	—
87	#391	—	2	4	no	—
88	#390	—	2	4	no	—
89	#390	—	2	2	no	—
90	#382	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	#340	D₄	1	2	yes	—
93	#336	—	2	2	no	—
94	#335	—	2	2	no	—
95	#335	D₄	1	4	yes	—
96	#332	—	2	4	no	—
97	#331	—	2	4	no	—
98	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
99	C₈²	D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
112	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
113	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
114	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
115	C₂×D₈	—	4	4	no	—
116	C₂×D₈	—	8	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	#127	—	2	2	no	—
129	#127	—	2	2	no	—
130	#127	—	2	2	no	—
131	#127	—	2	2	no	—
132	#124	—	4	4	no	—
133	#124	—	8	2	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	#107	—	2	2	no	—
149	#107	—	2	4	no	—
150	#107	—	4	4	no	—
151	#106	—	4	4	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
156	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	#103	—	2	4	no	—
158	#103	—	4	4	no	—
159	#103	—	8	4	no	—
160	#102	—	4	4	no	—
161	#102	—	4	4	no	—
162	#102	—	4	4	no	—
163	#102	—	8	4	no	—
164	#97	—	4	4	no	—
165	C₄×C₈	—	2	1	no	—
166	C₄×C₈	—	8	2	no	—
167	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
172	#95	—	2	2	no	—
173	#95	—	4	4	no	—
174	#95	—	4	4	no	—
175	C₂⁴	—	4	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	8	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
206	Q₁₆	—	4	4	no	—
207	SD₁₆	—	8	8	no	—
208	SD₁₆	—	8	8	no	—
209	SD₁₆	—	8	8	no	—
210	D₈	—	8	8	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	4	no	—
223	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
240	C₄²	—	4	2	no	—
241	C₄²	—	4	2	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	4	2	no	—
244	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	—	8	2	no	—
249	C₂³	—	8	2	no	—
250	C₂³	—	8	4	no	—
251	C₂³	—	8	4	no	—
252	C₂³	—	8	2	no	—
253	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	4	2	no	—
255	Q₈	—	4	2	no	—
256	Q₈	—	4	2	no	—
257	Q₈	—	4	2	no	—
258	Q₈	—	8	4	no	—
259	Q₈	—	8	2	no	—
260	Q₈	—	8	2	no	—
261	D₄	—	8	4	no	—
262	D₄	—	8	4	no	—
263	D₄	—	8	2	no	—
264	D₄	—	8	2	no	—
265	D₄	—	8	2	no	—
266	D₄	—	8	2	no	—
267	D₄	—	8	2	no	—
268	D₄	—	8	2	no	—
269	D₄	—	16	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	8	4	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
293	C₈	—	2	4	no	—
294	C₈	—	2	2	no	—
295	C₈	—	2	2	no	—
296	C₈	—	2	2	no	—
297	C₈	—	4	4	no	—
298	C₈	—	8	2	no	—
299	C₈	#495	1	4	yes	—
300	C₂²	—	16	2	no	—
301	C₂²	—	16	2	no	—
302	C₂²	—	16	2	no	—
303	C₂²	—	16	4	no	—
304	C₂²	—	16	4	no	—
305	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#3273	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#3277	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#3287	1	2	yes	—
309	C₂²	#3291	1	2	yes	—
310	C₄	—	2	1	no	—
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	8	2	no	—
313	C₄	—	8	2	no	—
314	C₄	—	8	4	no	—
315	C₄	—	16	2	no	—
316	C₄	#3054	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#3061	1	1	yes	characteristic
318	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#3273	1	1	yes	characteristic
321	C₄	#3277	1	1	yes	characteristic
322	C₄	#3396	1	2	yes	—
323	C₂	—	32	2	no	—
324	C₂	#19961	1	2	yes	—
325	C₂	#19965	1	2	yes	—
326	C₂	#28463	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#28491	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#28502	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28745	C₂	semidirect
2. #28402	C₂	semidirect
4. C₂×#1686	C₂	semidirect
5. C₂×#1591	C₂	semidirect
6. #10077	C₂	semidirect
8. #9738	C₂	semidirect
9. C₈×#107	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28745	2
#28402	2
C₂×#1706	2
C₂×#1686	2
C₂×#1591	2
#10077	2
#10047	2
#9738	2
C₈×#107	2