Subgroups — #322098

Order 512.

910 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28607	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1701	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10062	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#495	—	2	1	no	—
13	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#493	—	2	1	no	—
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
22	#2547	C₂²	1	2	yes	—
23	#2541	C₂²	1	2	yes	—
24	#2034	—	2	4	no	—
25	#2015	—	2	2	no	—
26	#2011	—	2	2	no	—
27	#1988	C₂²	1	2	yes	—
28	#1982	C₂²	1	2	yes	—
29	#1970	—	2	1	no	—
30	#1969	—	2	1	no	—
31	#1895	—	2	4	no	—
32	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1709	—	2	4	no	—
36	#1701	—	2	8	no	—
37	#1589	—	2	4	no	—
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#124	—	2	2	no	—
58	C₂×#121	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	#495	—	4	4	no	—
61	#494	—	2	2	no	—
62	#494	—	2	2	no	—
63	#493	—	2	2	no	—
64	#493	—	2	2	no	—
65	#493	—	4	4	no	—
66	#486	—	2	4	no	—
67	#486	—	2	4	no	—
68	#486	—	2	4	no	—
69	#486	—	4	2	no	—
70	#461	—	2	4	no	—
71	#461	—	4	2	no	—
72	#459	—	2	4	no	—
73	#459	—	4	2	no	—
74	C₄×D₈	—	2	2	no	—
75	C₄×D₈	—	2	2	no	—
76	#436	—	2	4	no	—
77	#436	—	2	4	no	—
78	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#103	—	2	2	no	—
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	C₂×#102	—	2	4	no	—
88	C₂×#102	—	4	2	no	—
89	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#397	—	4	2	no	—
97	#392	—	4	2	no	—
98	#391	—	2	2	no	—
99	#390	—	2	2	no	—
100	#380	—	2	4	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#340	—	2	4	no	—
104	#340	D₄	1	2	yes	—
105	#336	—	2	1	no	—
106	#336	—	2	1	no	—
107	#335	—	2	2	no	—
108	#334	D₄	1	4	yes	complemented
109	#332	—	2	4	no	—
110	#331	—	2	4	no	—
111	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
112	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
113	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
129	C₂×D₈	—	2	2	no	—
130	C₂×D₈	—	2	2	no	—
131	C₂×D₈	—	2	2	no	—
132	C₂×D₈	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	4	2	no	—
135	C₂×D₈	—	4	2	no	—
136	C₂×D₈	—	4	2	no	—
137	C₂×D₈	—	4	2	no	—
138	C₂×D₈	—	8	1	no	—
139	C₂×D₈	—	8	1	no	—
140	C₂×D₈	—	8	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	4	4	no	—
160	#127	—	8	2	no	—
161	#124	—	4	4	no	—
162	#124	—	8	2	no	—
163	#121	—	4	8	no	—
164	#121	—	8	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	2	no	—
167	C₄×D₄	—	2	2	no	—
168	C₄×D₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	#107	—	2	2	no	—
181	#106	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	#103	—	4	4	no	—
189	#102	—	2	4	no	—
190	#102	—	4	4	no	—
191	#102	—	4	8	no	—
192	#102	—	4	4	no	—
193	#102	—	4	4	no	—
194	#102	—	8	4	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
196	C₄×C₈	—	2	1	no	—
197	C₄×C₈	—	4	2	no	—
198	C₄×C₈	—	4	2	no	—
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
204	#95	—	2	1	no	—
205	#95	—	2	1	no	—
206	#95	—	4	4	no	—
207	C₂⁴	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	8	4	no	—
234	C₂×D₄	—	8	8	no	—
235	C₂×D₄	—	8	8	no	—
236	C₂×D₄	—	16	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
248	Q₁₆	—	8	4	no	—
249	Q₁₆	—	8	4	no	—
250	SD₁₆	—	8	8	no	—
251	D₈	—	4	4	no	—
252	D₈	—	8	4	no	—
253	D₈	—	8	8	no	—
254	D₈	—	8	4	no	—
255	M₁₆	—	8	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
290	C₄²	—	4	1	no	—
291	C₄²	—	4	1	no	—
292	C₄²	—	4	1	no	—
293	C₄²	—	4	1	no	—
294	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	4	4	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	8	2	no	—
310	Q₈	—	8	2	no	—
311	Q₈	—	8	2	no	—
312	Q₈	—	8	2	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	D₄	—	4	2	no	—
317	D₄	—	8	4	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	D₄	—	8	2	no	—
320	D₄	—	8	2	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	2	no	—
324	D₄	—	8	2	no	—
325	D₄	—	16	2	no	—
326	D₄	—	16	16	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
354	C₈	—	2	2	no	—
355	C₈	—	2	2	no	—
356	C₈	—	2	2	no	—
357	C₈	—	4	2	no	—
358	C₈	—	4	2	no	—
359	C₈	—	4	2	no	—
360	C₈	—	8	2	no	—
361	C₈	#469	1	4	yes	—
362	C₂²	—	8	2	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	16	2	no	—
368	C₂²	—	16	2	no	—
369	C₂²	—	16	2	no	—
370	C₂²	—	16	4	no	—
371	C₂²	—	16	4	no	—
372	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#3280	1	2	yes	—
376	C₂²	#3290	1	2	yes	—
377	C₄	—	2	1	no	—
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	8	2	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	16	2	no	—
383	C₄	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#3274	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#3274	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#3396	1	2	yes	—
390	C₂	—	16	2	no	—
391	C₂	—	32	2	no	—
392	C₂	#19900	1	2	yes	—
393	C₂	#19908	1	2	yes	—
394	C₂	#28465	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#28488	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#28501	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28458	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28607	C₂	semidirect
2. #28459	C₂	semidirect
4. C₂×#1709	C₂	semidirect
5. C₂×#1701	C₂	semidirect
6. C₂×#1589	C₂	semidirect
7. #10062	C₂	semidirect
8. #10050	C₂	semidirect
9. #9734	C₂	semidirect
10. #9733	C₂	semidirect
11. C₈×#106	C₂	semidirect
108. #334	D₄	semidirect
112. C₈²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28607	2
#28459	2
#28458	2
C₂×#1709	2
C₂×#1701	2
C₂×#1589	2
#10062	2
#10050	2
#9734	2
#9733	2
C₈×#106	2