Subgroups — #322177

Order 512.

940 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28597	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28472	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1681	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10066	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10046	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9744	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#496	—	2	2	no	—
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	#2547	C₂²	1	2	yes	—
20	#2541	C₂²	1	2	yes	—
21	#2033	—	2	4	no	—
22	#2014	—	2	2	no	—
23	#2012	—	2	2	no	—
24	#1988	C₂²	1	2	yes	—
25	#1982	C₂²	1	2	yes	—
26	#1973	—	2	2	no	—
27	#1893	—	2	4	no	—
28	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1770	C₂²	1	2	yes	—
30	#1706	—	2	4	no	—
31	#1681	—	2	8	no	—
32	C₈×D₈	—	2	4	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	—	4	1	no	—
45	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#127	—	2	2	no	—
49	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#124	—	2	2	no	—
51	C₂×#121	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	#500	—	2	2	no	—
54	#500	—	4	1	no	—
55	#496	—	4	8	no	—
56	#493	—	2	2	no	—
57	#493	—	4	1	no	—
58	#492	—	2	4	no	—
59	#492	—	2	4	no	—
60	#486	—	2	4	no	—
61	#486	—	2	4	no	—
62	#461	—	2	4	no	—
63	#461	—	4	2	no	—
64	#459	—	2	4	no	—
65	#459	—	4	2	no	—
66	C₄×D₈	—	2	2	no	—
67	C₄×D₈	—	2	2	no	—
68	C₈×D₄	—	2	4	no	—
69	C₈×D₄	—	2	4	no	—
70	C₂×#107	—	4	1	no	—
71	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#103	—	2	2	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	C₂×#102	—	2	2	no	—
79	C₂×#102	—	2	4	no	—
80	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#397	—	4	2	no	—
87	#392	—	4	2	no	—
88	#391	—	2	2	no	—
89	#390	—	2	2	no	—
90	#380	—	2	4	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	#340	—	2	4	no	—
93	#340	D₄	1	2	yes	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#335	—	2	2	no	—
96	#335	D₄	1	4	yes	complemented
97	#332	—	2	4	no	—
98	#331	—	2	4	no	—
99	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
100	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
106	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
112	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
113	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
114	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
115	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂×D₈	—	4	4	no	—
121	C₂×D₈	—	4	4	no	—
122	C₂×D₈	—	8	4	no	—
123	C₂×D₈	—	8	2	no	—
124	C₂×D₈	D₈	1	4	yes	complemented
125	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	2	no	—
139	#127	—	2	2	no	—
140	#127	—	2	2	no	—
141	#127	—	2	2	no	—
142	#127	—	4	4	no	—
143	#127	—	8	2	no	—
144	#124	—	4	4	no	—
145	#124	—	8	2	no	—
146	#121	—	4	8	no	—
147	#121	—	8	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	#107	—	2	2	no	—
162	#107	—	4	2	no	—
163	#107	—	4	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	#103	—	4	4	no	—
169	#102	—	2	4	no	—
170	#102	—	4	4	no	—
171	#102	—	4	4	no	—
172	#102	—	4	4	no	—
173	#102	—	8	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
175	#97	—	4	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	1	no	—
177	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
182	#95	—	2	2	no	—
183	#95	—	4	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	2	no	—
185	C₂⁴	—	4	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	8	4	no	—
210	C₂×D₄	—	8	8	no	—
211	C₂×D₄	—	8	8	no	—
212	C₂×D₄	—	16	4	no	—
213	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
224	SD₁₆	—	8	8	no	—
225	SD₁₆	—	8	8	no	—
226	SD₁₆	—	8	8	no	—
227	D₈	—	2	8	no	—
228	D₈	—	8	8	no	—
229	D₈	—	8	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	8	8	no	—
242	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	8	4	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	8	4	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	8	2	no	—
278	Q₈	—	8	2	no	—
279	Q₈	—	8	2	no	—
280	Q₈	—	8	2	no	—
281	D₄	—	2	4	no	—
282	D₄	—	2	4	no	—
283	D₄	—	4	2	no	—
284	D₄	—	4	2	no	—
285	D₄	—	8	4	no	—
286	D₄	—	8	4	no	—
287	D₄	—	8	2	no	—
288	D₄	—	8	2	no	—
289	D₄	—	8	2	no	—
290	D₄	—	8	2	no	—
291	D₄	—	8	2	no	—
292	D₄	—	8	2	no	—
293	D₄	—	16	2	no	—
294	D₄	—	16	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	2	2	no	—
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	2	2	no	—
323	C₈	—	4	4	no	—
324	C₈	—	8	2	no	—
325	C₈	#466	1	4	yes	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	8	no	—
328	C₂²	—	8	2	no	—
329	C₂²	—	8	2	no	—
330	C₂²	—	8	4	no	—
331	C₂²	—	16	2	no	—
332	C₂²	—	16	2	no	—
333	C₂²	—	16	2	no	—
334	C₂²	—	16	4	no	—
335	C₂²	—	16	4	no	—
336	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#3273	1	2	yes	—
338	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#3291	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	2	1	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	—	16	2	no	—
346	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#3150	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
350	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#3403	1	2	yes	—
353	C₂	—	8	4	no	—
354	C₂	—	32	2	no	—
355	C₂	#19884	1	2	yes	—
356	C₂	#19961	1	2	yes	—
357	C₂	#28467	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#28485	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#28502	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28597	C₂	semidirect
2. #28472	C₂	semidirect
3. C₂×#1706	C₂	semidirect
4. C₂×#1681	C₂	semidirect
5. C₂×C₈×D₈	C₂	semidirect
6. #10066	C₂	semidirect
7. #10046	C₂	semidirect
8. #9744	C₂	semidirect
9. #8282	C₂	semidirect
96. #335	D₄	semidirect
100. C₈²	D₄	semidirect
124. C₂×D₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28597	2
#28472	2
C₂×#1706	2
C₂×#1681	2
C₂×C₈×D₈	2
#10066	2
#10046	2
#9744	2
#8282	2