Subgroups — #322196

Order 512.

876 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28737	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#28420	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1669	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×C₈×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10070	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10053	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9746	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#466	—	2	2	no	—
18	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2568	C₂²	1	2	yes	—
23	#2541	C₂²	1	2	yes	—
24	#2092	—	2	2	no	—
25	#2056	—	2	2	no	—
26	#2014	—	2	2	no	—
27	#1999	—	2	2	no	—
28	#1982	C₂²	1	2	yes	—
29	#1981	C₂²	1	2	yes	—
30	#1973	—	2	2	no	—
31	#1969	—	2	2	no	—
32	#1961	—	2	2	no	—
33	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1770	C₂²	1	2	yes	—
35	#1709	—	2	4	no	—
36	#1669	—	2	4	no	—
37	#1668	—	2	4	no	—
38	C₈×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×SD₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#121	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#494	—	2	2	no	—
61	#494	—	2	2	no	—
62	#493	—	2	2	no	—
63	#493	—	2	2	no	—
64	#486	—	2	4	no	—
65	#486	—	2	4	no	—
66	#486	—	2	4	no	—
67	#486	—	4	2	no	—
68	#474	—	2	4	no	—
69	#474	—	4	2	no	—
70	#466	—	4	8	no	—
71	#460	—	2	4	no	—
72	#460	—	4	2	no	—
73	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
75	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
76	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
77	C₈×D₄	—	2	2	no	—
78	C₈×D₄	—	2	2	no	—
79	C₂×#107	—	2	2	no	—
80	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#103	—	2	4	no	—
87	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	C₂×#102	—	2	2	no	—
92	C₂×#102	—	2	4	no	—
93	C₂×#102	—	4	2	no	—
94	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
96	C₂×#97	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#400	—	4	2	no	—
102	#392	—	4	2	no	—
103	#391	—	2	2	no	—
104	#391	—	2	4	no	—
105	#390	—	2	2	no	—
106	#382	—	2	2	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	#340	D₄	1	2	yes	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#335	D₄	1	4	yes	complemented
111	#334	—	2	2	no	—
112	#332	—	2	4	no	—
113	#331	—	2	4	no	—
114	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
115	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
116	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
123	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
135	C₂×D₈	—	4	2	no	—
136	C₂×D₈	—	4	2	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	—	8	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	4	4	no	—
158	#127	—	8	2	no	—
159	#121	—	4	8	no	—
160	#121	—	8	4	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
165	C₄×D₄	—	2	1	no	—
166	C₄×D₄	—	2	1	no	—
167	C₄×D₄	—	2	1	no	—
168	C₄×D₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	#107	—	2	4	no	—
181	#107	—	4	4	no	—
182	#106	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
189	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	#103	—	2	2	no	—
191	#103	—	8	4	no	—
192	#102	—	2	2	no	—
193	#102	—	4	4	no	—
194	#102	—	4	8	no	—
195	#102	—	4	4	no	—
196	#102	—	4	8	no	—
197	#102	—	4	4	no	—
198	#102	—	4	4	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
200	#97	—	8	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	1	no	—
202	C₄×C₈	—	4	2	no	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
208	#95	—	2	2	no	—
209	#95	—	4	4	no	—
210	#95	—	4	4	no	—
211	C₂⁴	—	2	1	no	—
212	C₂⁴	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
222	C₂×Q₈	#135	1	2	yes	—
223	C₂×D₄	—	2	1	no	—
224	C₂×D₄	—	2	1	no	—
225	C₂×D₄	—	2	1	no	—
226	C₂×D₄	—	2	1	no	—
227	C₂×D₄	—	2	1	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	8	4	no	—
241	C₂×D₄	—	8	8	no	—
242	C₂×D₄	—	8	8	no	—
243	C₂×D₄	—	16	4	no	—
244	C₂×D₄	#135	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
257	Q₁₆	—	8	4	no	—
258	Q₁₆	—	8	4	no	—
259	SD₁₆	—	2	8	no	—
260	SD₁₆	—	8	8	no	—
261	D₈	—	8	4	no	—
262	D₈	—	8	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	8	4	no	—
278	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
298	C₄²	—	4	1	no	—
299	C₄²	—	4	1	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	4	1	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	1	no	—
311	C₂³	—	8	4	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	2	no	—
314	C₂³	—	8	4	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	2	2	no	—
318	Q₈	—	2	2	no	—
319	Q₈	—	4	1	no	—
320	Q₈	—	4	1	no	—
321	Q₈	—	8	4	no	—
322	Q₈	—	8	2	no	—
323	Q₈	—	8	2	no	—
324	D₄	—	2	2	no	—
325	D₄	—	2	2	no	—
326	D₄	—	4	1	no	—
327	D₄	—	4	1	no	—
328	D₄	—	8	4	no	—
329	D₄	—	8	4	no	—
330	D₄	—	8	2	no	—
331	D₄	—	8	2	no	—
332	D₄	—	8	2	no	—
333	D₄	—	8	2	no	—
334	D₄	—	8	2	no	—
335	D₄	—	8	2	no	—
336	D₄	—	16	2	no	—
337	D₄	—	16	16	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	8	2	no	—
350	C₂×C₄	—	8	1	no	—
351	C₂×C₄	—	8	1	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
366	C₈	—	2	2	no	—
367	C₈	—	2	2	no	—
368	C₈	—	2	2	no	—
369	C₈	—	4	2	no	—
370	C₈	—	4	4	no	—
371	C₈	—	8	1	no	—
372	C₈	—	8	1	no	—
373	C₈	#496	1	4	yes	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	8	1	no	—
377	C₂²	—	8	1	no	—
378	C₂²	—	8	2	no	—
379	C₂²	—	16	2	no	—
380	C₂²	—	16	2	no	—
381	C₂²	—	16	2	no	—
382	C₂²	—	16	4	no	—
383	C₂²	—	16	4	no	—
384	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#3274	1	2	yes	—
386	C₂²	#3280	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#3285	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#3290	1	2	yes	—
389	C₄	—	2	1	no	—
390	C₄	—	2	1	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	—	8	1	no	—
393	C₄	—	8	1	no	—
394	C₄	—	8	4	no	—
395	C₄	—	16	2	no	—
396	C₄	#3050	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#3061	1	1	yes	characteristic
398	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#3285	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#3399	1	2	yes	—
403	C₂	—	8	2	no	—
404	C₂	—	32	2	no	—
405	C₂	#19900	1	2	yes	—
406	C₂	#19943	1	2	yes	—
407	C₂	#28470	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#28484	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#28503	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28485	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28737	C₂	semidirect
3. #28420	C₂	semidirect
4. C₂×#1709	C₂	semidirect
5. C₂×#1668	C₂	semidirect
6. C₂×#1669	C₂	semidirect
7. C₂×C₈×SD₁₆	C₂	semidirect
8. #10070	C₂	semidirect
9. #10053	C₂	semidirect
10. #9746	C₂	semidirect
11. #8282	C₂	semidirect
110. #335	D₄	semidirect
116. C₈²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28737	2
#28485	2
#28420	2
C₂×#1709	2
C₂×#1668	2
C₂×#1669	2
C₂×C₈×SD₁₆	2
#10070	2
#10053	2
#9746	2
#8282	2