Subgroups — #322197

Order 512.

1028 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 446 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28470	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×C₈×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10047	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10046	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9743	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#496	—	2	2	no	—
13	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#466	—	2	2	no	—
18	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2548	C₂²	1	2	yes	—
24	#2541	C₂²	1	2	yes	—
25	#2054	—	2	2	no	—
26	#2012	—	2	2	no	—
27	#2011	—	2	2	no	—
28	#1999	—	2	2	no	—
29	#1982	C₂²	1	2	yes	—
30	#1982	C₂²	1	2	yes	—
31	#1972	—	2	2	no	—
32	#1970	—	2	2	no	—
33	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1770	C₂²	1	2	yes	—
35	#1712	—	2	4	no	—
36	#1668	—	2	4	no	—
37	#1667	—	2	4	no	—
38	C₈×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
56	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
57	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#124	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#496	—	4	8	no	—
66	#493	—	2	2	no	—
67	#493	—	2	2	no	—
68	#493	—	2	4	no	—
69	#493	—	2	4	no	—
70	#493	—	2	2	no	—
71	#493	—	2	2	no	—
72	#493	—	2	4	no	—
73	#493	—	4	2	no	—
74	#466	—	4	8	no	—
75	#460	—	2	4	no	—
76	#460	—	4	2	no	—
77	#459	—	2	4	no	—
78	#459	—	4	2	no	—
79	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
80	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
81	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
82	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
83	C₈×D₄	—	2	2	no	—
84	C₈×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#102	—	2	2	no	—
93	C₂×#102	—	2	2	no	—
94	C₂×#102	—	2	4	no	—
95	C₂×#102	—	2	4	no	—
96	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×#97	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#394	—	4	2	no	—
104	#392	—	4	2	no	—
105	#390	—	2	4	no	—
106	#390	—	2	2	no	—
107	#390	—	2	2	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	#340	D₄	1	2	yes	—
110	#336	—	2	2	no	—
111	#335	D₄	1	4	yes	complemented
112	#334	—	2	2	no	—
113	#331	—	2	4	no	—
114	#331	—	2	4	no	—
115	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
116	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
117	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
126	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
133	C₂×SD₁₆	D₈	1	4	yes	complemented
134	C₂×D₈	—	4	4	no	—
135	C₂×D₈	—	4	8	no	—
136	C₂×D₈	—	4	4	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	—	4	4	no	—
139	C₂×D₈	—	4	2	no	—
140	C₂×D₈	—	4	2	no	—
141	C₂×D₈	—	4	2	no	—
142	C₂×D₈	—	4	2	no	—
143	C₂×D₈	—	4	4	no	—
144	C₂×D₈	—	4	4	no	—
145	C₂×D₈	—	4	4	no	—
146	C₂×D₈	—	4	4	no	—
147	C₂×D₈	—	8	2	no	—
148	C₂×D₈	—	8	2	no	—
149	C₂×D₈	—	8	2	no	—
150	C₂×D₈	—	8	2	no	—
151	C₂×D₈	—	8	8	no	—
152	C₂×D₈	—	8	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	2	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	—	2	2	no	—
169	#127	—	2	2	no	—
170	#127	—	2	2	no	—
171	#127	—	4	4	no	—
172	#127	—	8	2	no	—
173	#124	—	4	4	no	—
174	#124	—	8	2	no	—
175	#121	—	4	8	no	—
176	#121	—	8	4	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
181	C₄×D₄	—	2	1	no	—
182	C₄×D₄	—	2	1	no	—
183	C₄×D₄	—	2	1	no	—
184	C₄×D₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	#107	—	2	4	no	—
197	#106	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	#103	—	2	2	no	—
206	#102	—	2	2	no	—
207	#102	—	4	4	no	—
208	#102	—	4	4	no	—
209	#102	—	4	8	no	—
210	#102	—	8	4	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
212	#97	—	4	4	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	—	4	2	no	—
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
220	#95	—	2	2	no	—
221	C₂⁴	—	2	1	no	—
222	C₂⁴	—	4	2	no	—
223	C₂⁴	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
229	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	1	no	—
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	—	2	1	no	—
234	C₂×D₄	—	2	1	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×D₄	—	8	4	no	—
260	C₂×D₄	—	8	4	no	—
261	C₂×D₄	—	8	8	no	—
262	C₂×D₄	—	8	8	no	—
263	C₂×D₄	—	16	4	no	—
264	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
276	SD₁₆	—	2	8	no	—
277	SD₁₆	—	8	8	no	—
278	D₈	—	8	16	no	—
279	D₈	—	8	4	no	—
280	D₈	—	8	4	no	—
281	D₈	—	8	8	no	—
282	D₈	—	8	8	no	—
283	D₈	—	8	8	no	—
284	D₈	—	8	4	no	—
285	D₈	—	8	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	1	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	1	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	8	4	no	—
299	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
301	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
302	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
305	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
306	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
319	C₄²	—	4	1	no	—
320	C₄²	—	4	1	no	—
321	C₄²	—	4	2	no	—
322	C₄²	—	4	2	no	—
323	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	—	4	1	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	1	no	—
332	C₂³	—	8	4	no	—
333	C₂³	—	8	4	no	—
334	C₂³	—	8	2	no	—
335	C₂³	—	8	2	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	2	no	—
338	C₂³	—	8	4	no	—
339	C₂³	—	8	4	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	—	8	2	no	—
342	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
343	Q₈	—	2	2	no	—
344	Q₈	—	2	2	no	—
345	Q₈	—	4	1	no	—
346	Q₈	—	4	1	no	—
347	D₄	—	2	2	no	—
348	D₄	—	2	2	no	—
349	D₄	—	4	1	no	—
350	D₄	—	4	1	no	—
351	D₄	—	8	4	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	4	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	D₄	—	8	2	no	—
358	D₄	—	8	2	no	—
359	D₄	—	8	2	no	—
360	D₄	—	8	2	no	—
361	D₄	—	8	2	no	—
362	D₄	—	8	2	no	—
363	D₄	—	8	2	no	—
364	D₄	—	8	2	no	—
365	D₄	—	8	2	no	—
366	D₄	—	8	2	no	—
367	D₄	—	16	2	no	—
368	D₄	—	16	2	no	—
369	D₄	—	16	16	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	1	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	1	no	—
380	C₂×C₄	—	4	1	no	—
381	C₂×C₄	—	8	2	no	—
382	C₂×C₄	—	8	1	no	—
383	C₂×C₄	—	8	1	no	—
384	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
396	C₈	—	2	4	no	—
397	C₈	—	2	2	no	—
398	C₈	—	2	2	no	—
399	C₈	—	4	4	no	—
400	C₈	—	8	1	no	—
401	C₈	—	8	1	no	—
402	C₈	#466	1	4	yes	complemented
403	C₈	#496	1	4	yes	complemented
404	C₂²	—	4	2	no	—
405	C₂²	—	4	4	no	—
406	C₂²	—	8	1	no	—
407	C₂²	—	8	1	no	—
408	C₂²	—	8	2	no	—
409	C₂²	—	16	2	no	—
410	C₂²	—	16	2	no	—
411	C₂²	—	16	2	no	—
412	C₂²	—	16	2	no	—
413	C₂²	—	16	2	no	—
414	C₂²	—	16	2	no	—
415	C₂²	—	16	4	no	—
416	C₂²	—	16	4	no	—
417	C₂²	—	16	4	no	—
418	C₂²	—	16	4	no	—
419	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#3274	1	2	yes	—
421	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
422	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#3292	1	2	yes	—
424	C₄	—	2	1	no	—
425	C₄	—	2	1	no	—
426	C₄	—	4	2	no	—
427	C₄	—	8	1	no	—
428	C₄	—	8	1	no	—
429	C₄	—	8	4	no	—
430	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
431	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
432	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
433	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
434	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
436	C₄	#3399	1	2	yes	—
437	C₂	—	8	2	no	—
438	C₂	—	32	2	no	—
439	C₂	—	32	2	no	—
440	C₂	#19885	1	2	yes	—
441	C₂	#19962	1	2	yes	—
442	C₂	#28470	1	1	yes	characteristic
443	C₂	#28485	1	1	yes	characteristic
444	C₂	#28504	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28736	C₂	semidirect
2. #28485	C₂	semidirect
3. #28470	C₂	semidirect
4. C₂×#1712	C₂	semidirect
5. C₂×#1668	C₂	semidirect
6. C₂×#1667	C₂	semidirect
7. C₂×C₈×SD₁₆	C₂	semidirect
8. #10047	C₂	semidirect
9. #10046	C₂	semidirect
10. #9743	C₂	semidirect
11. #8282	C₂	semidirect
111. #335	D₄	semidirect
117. C₈²	D₄	semidirect
133. C₂×SD₁₆	D₈	semidirect
402. C₈	#466	semidirect
403. C₈	#496	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28736	2
#28485	2
#28470	2
C₂×#1712	2
C₂×#1668	2
C₂×#1667	2
C₂×C₈×SD₁₆	2
#10047	2
#10046	2
#9743	2
#8282	2