Subgroups — #322221

Order 512.

856 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28605	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28413	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1697	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10056	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10046	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9747	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
18	#2563	C₂²	1	2	yes	—
19	#2541	C₂²	1	2	yes	—
20	#2092	—	2	2	no	—
21	#2033	—	2	4	no	—
22	#2011	—	2	2	no	—
23	#1987	C₂²	1	2	yes	—
24	#1982	C₂²	1	2	yes	—
25	#1972	—	2	2	no	—
26	#1961	—	2	2	no	—
27	#1895	—	2	4	no	—
28	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1770	C₂²	1	2	yes	—
30	#1709	—	2	4	no	—
31	#1697	—	2	8	no	—
32	#1589	—	2	4	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	—	4	1	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₈	—	4	1	no	—
43	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#127	—	2	2	no	—
47	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#121	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
50	#494	—	2	2	no	—
51	#494	—	4	1	no	—
52	#493	—	2	2	no	—
53	#493	—	4	1	no	—
54	#486	—	2	4	no	—
55	#486	—	2	4	no	—
56	#486	—	2	4	no	—
57	#486	—	2	4	no	—
58	#476	—	2	4	no	—
59	#476	—	4	2	no	—
60	#459	—	2	4	no	—
61	#459	—	4	2	no	—
62	C₄×D₈	—	2	2	no	—
63	C₄×D₈	—	2	2	no	—
64	#436	—	2	4	no	—
65	#436	—	2	4	no	—
66	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×#106	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#102	—	2	2	no	—
72	C₂×#102	—	2	2	no	—
73	C₂×#102	—	2	2	no	—
74	C₂×#102	—	2	2	no	—
75	C₂×#102	—	2	2	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	4	no	—
78	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#393	—	4	2	no	—
85	#392	—	4	2	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#390	—	2	2	no	—
88	#382	—	2	2	no	—
89	#380	—	2	4	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	#340	—	2	4	no	—
92	#340	D₄	1	2	yes	—
93	#336	—	2	2	no	—
94	#335	—	2	2	no	—
95	#335	D₄	1	4	yes	complemented
96	#333	—	2	4	no	—
97	#331	—	2	4	no	—
98	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
99	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
100	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
105	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
108	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
109	C₂×D₈	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	4	1	no	—
111	C₂×D₈	—	4	1	no	—
112	C₂×D₈	—	4	4	no	—
113	C₂×D₈	—	4	4	no	—
114	C₂×D₈	—	4	4	no	—
115	C₂×D₈	—	8	4	no	—
116	C₂×D₈	—	8	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	#127	—	2	2	no	—
131	#127	—	2	2	no	—
132	#127	—	2	2	no	—
133	#127	—	2	2	no	—
134	#127	—	4	4	no	—
135	#127	—	8	2	no	—
136	#121	—	4	8	no	—
137	#121	—	8	4	no	—
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	#107	—	2	2	no	—
152	#107	—	4	2	no	—
153	#106	—	4	4	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	#102	—	2	4	no	—
159	#102	—	4	4	no	—
160	#102	—	4	4	no	—
161	#102	—	4	4	no	—
162	#102	—	4	4	no	—
163	#102	—	4	4	no	—
164	#102	—	4	4	no	—
165	#102	—	8	4	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
167	#97	—	8	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
174	#95	—	2	2	no	—
175	#95	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	4	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	8	4	no	—
200	C₂×D₄	—	8	8	no	—
201	C₂×D₄	—	8	8	no	—
202	C₂×D₄	—	16	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
213	Q₁₆	—	8	8	no	—
214	D₈	—	4	4	no	—
215	D₈	—	8	8	no	—
216	D₈	—	8	8	no	—
217	M₁₆	—	8	8	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	—	4	2	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	—	8	4	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	—	8	2	no	—
261	C₂³	—	8	4	no	—
262	C₂³	—	8	2	no	—
263	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
264	Q₈	—	8	4	no	—
265	Q₈	—	16	2	no	—
266	D₄	—	4	2	no	—
267	D₄	—	4	2	no	—
268	D₄	—	4	2	no	—
269	D₄	—	4	2	no	—
270	D₄	—	8	4	no	—
271	D₄	—	8	4	no	—
272	D₄	—	8	2	no	—
273	D₄	—	8	2	no	—
274	D₄	—	8	2	no	—
275	D₄	—	8	2	no	—
276	D₄	—	8	2	no	—
277	D₄	—	8	2	no	—
278	D₄	—	16	2	no	—
279	D₄	—	16	16	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	8	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₈	—	2	2	no	—
305	C₈	—	2	2	no	—
306	C₈	—	2	2	no	—
307	C₈	—	2	2	no	—
308	C₈	—	4	4	no	—
309	C₈	—	8	2	no	—
310	C₂²	—	8	2	no	—
311	C₂²	—	8	2	no	—
312	C₂²	—	8	4	no	—
313	C₂²	—	8	4	no	—
314	C₂²	—	8	2	no	—
315	C₂²	—	16	2	no	—
316	C₂²	—	16	2	no	—
317	C₂²	—	16	4	no	—
318	C₂²	—	16	4	no	—
319	C₂²	—	16	2	no	—
320	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#3273	1	2	yes	—
322	C₂²	#3273	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#3277	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#3292	1	2	yes	—
325	C₄	—	2	1	no	—
326	C₄	—	2	1	no	—
327	C₄	—	8	2	no	—
328	C₄	—	8	4	no	—
329	C₄	—	16	2	no	—
330	C₄	#3054	1	1	yes	characteristic
331	C₄	#3061	1	1	yes	characteristic
332	C₄	#3150	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#3273	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#3277	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#3403	1	2	yes	—
337	C₂	—	16	2	no	—
338	C₂	—	32	2	no	—
339	C₂	#20302	1	2	yes	—
340	C₂	#20308	1	2	yes	—
341	C₂	#28467	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#28491	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#28504	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28605	C₂	semidirect
2. #28413	C₂	semidirect
3. C₂×#1709	C₂	semidirect
4. C₂×#1697	C₂	semidirect
5. C₂×#1589	C₂	semidirect
6. #10056	C₂	semidirect
7. #10046	C₂	semidirect
8. #9747	C₂	semidirect
9. #8282	C₂	semidirect
95. #335	D₄	semidirect
99. C₈²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28605	2
#28413	2
C₂×#1709	2
C₂×#1697	2
C₂×#1589	2
#10056	2
#10046	2
#9747	2
#8282	2