Subgroups — #322222

Order 512.

766 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 325 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28606	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28414	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1710	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1699	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10076	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10066	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9748	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
18	#2547	C₂²	1	2	yes	—
19	#2542	C₂²	1	2	yes	—
20	#2095	—	2	2	no	—
21	#2036	—	2	4	no	—
22	#2012	—	2	2	no	—
23	#1988	C₂²	1	2	yes	—
24	#1981	C₂²	1	2	yes	—
25	#1973	—	2	2	no	—
26	#1959	—	2	2	no	—
27	#1894	—	2	4	no	—
28	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1770	C₂²	1	2	yes	—
30	#1710	—	2	4	no	—
31	#1699	—	2	8	no	—
32	#1589	—	2	4	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#124	—	2	2	no	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
48	#500	—	2	2	no	—
49	#500	—	2	2	no	—
50	#500	—	4	1	no	—
51	#500	—	4	1	no	—
52	#487	—	2	4	no	—
53	#487	—	2	4	no	—
54	#487	—	2	4	no	—
55	#487	—	2	4	no	—
56	#474	—	2	4	no	—
57	#474	—	4	2	no	—
58	#461	—	2	4	no	—
59	#461	—	4	2	no	—
60	C₄×D₈	—	2	2	no	—
61	C₄×D₈	—	2	2	no	—
62	#436	—	2	4	no	—
63	#436	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#107	—	4	1	no	—
66	C₂×#107	—	4	1	no	—
67	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#103	—	2	2	no	—
72	C₂×#103	—	2	2	no	—
73	C₂×#103	—	2	2	no	—
74	C₂×#103	—	2	2	no	—
75	C₂×#103	—	2	2	no	—
76	C₂×#103	—	2	4	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#399	—	4	2	no	—
85	#397	—	4	2	no	—
86	#391	—	2	2	no	—
87	#390	—	2	2	no	—
88	#384	—	2	2	no	—
89	#380	—	2	4	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	#340	—	2	4	no	—
92	#340	D₄	1	2	yes	—
93	#336	—	2	2	no	—
94	#335	—	2	2	no	—
95	#335	D₄	1	4	yes	—
96	#332	—	2	4	no	—
97	#332	—	2	4	no	—
98	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
99	C₈²	D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
105	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
106	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
107	C₂×D₈	—	2	2	no	—
108	C₂×D₈	—	4	1	no	—
109	C₂×D₈	—	4	1	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	#124	—	4	4	no	—
128	#124	—	8	2	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
131	C₄×D₄	—	2	2	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₄×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	#107	—	2	2	no	—
148	#107	—	4	2	no	—
149	#107	—	4	4	no	—
150	#107	—	4	4	no	—
151	#107	—	4	4	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#103	—	4	4	no	—
157	#103	—	4	4	no	—
158	#103	—	4	4	no	—
159	#103	—	4	4	no	—
160	#103	—	4	4	no	—
161	#103	—	8	4	no	—
162	#102	—	2	4	no	—
163	#102	—	4	4	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
165	#97	—	8	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	1	no	—
167	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
172	#95	—	2	2	no	—
173	#95	—	4	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	2	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
202	SD₁₆	—	8	8	no	—
203	D₈	—	4	4	no	—
204	M₁₆	—	8	8	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	4	no	—
218	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
222	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
239	C₄²	—	4	2	no	—
240	C₄²	—	4	2	no	—
241	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	4	4	no	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	—	4	4	no	—
249	C₂³	—	4	2	no	—
250	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
251	Q₈	—	8	4	no	—
252	Q₈	—	8	2	no	—
253	Q₈	—	8	2	no	—
254	Q₈	—	8	2	no	—
255	Q₈	—	8	2	no	—
256	Q₈	—	8	2	no	—
257	Q₈	—	8	2	no	—
258	D₄	—	4	2	no	—
259	D₄	—	4	2	no	—
260	D₄	—	4	2	no	—
261	D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	8	4	no	—
269	C₂×C₄	—	8	2	no	—
270	C₂×C₄	—	8	2	no	—
271	C₂×C₄	—	8	2	no	—
272	C₂×C₄	—	8	4	no	—
273	C₂×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
288	C₈	—	2	4	no	—
289	C₈	—	2	2	no	—
290	C₈	—	2	2	no	—
291	C₈	—	2	2	no	—
292	C₈	—	2	2	no	—
293	C₈	—	4	4	no	—
294	C₈	—	8	2	no	—
295	C₂²	—	8	2	no	—
296	C₂²	—	8	2	no	—
297	C₂²	—	8	4	no	—
298	C₂²	—	8	4	no	—
299	C₂²	—	8	2	no	—
300	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	#3273	1	2	yes	—
302	C₂²	#3273	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#3277	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	#3293	1	2	yes	—
305	C₄	—	2	1	no	—
306	C₄	—	2	1	no	—
307	C₄	—	8	2	no	—
308	C₄	—	8	4	no	—
309	C₄	—	16	2	no	—
310	C₄	—	16	2	no	—
311	C₄	#3054	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#3061	1	1	yes	characteristic
313	C₄	#3150	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#3273	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#3277	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#3403	1	2	yes	—
318	C₂	—	16	2	no	—
319	C₂	#20304	1	2	yes	—
320	C₂	#20306	1	2	yes	—
321	C₂	#28467	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#28491	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#28505	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28606	C₂	semidirect
3. C₂×#1710	C₂	semidirect
4. C₂×#1699	C₂	semidirect
6. #10076	C₂	semidirect
7. #10066	C₂	semidirect
8. #9748	C₂	semidirect
9. #8282	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28606	2
#28414	2
C₂×#1710	2
C₂×#1699	2
C₂×#1589	2
#10076	2
#10066	2
#9748	2
#8282	2