Subgroups — #322232

Order 512.

828 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28648	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28473	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1702	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10067	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10047	C₂	1	2	yes	maximal
8	#9744	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#497	—	2	2	no	—
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2548	C₂²	1	2	yes	—
20	#2546	C₂²	1	2	yes	—
21	#2065	—	2	4	no	—
22	#2015	—	2	2	no	—
23	#2013	—	2	2	no	—
24	#1988	C₂²	1	2	yes	—
25	#1982	C₂²	1	2	yes	—
26	#1973	—	2	2	no	—
27	#1936	—	2	4	no	—
28	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1770	C₂²	1	2	yes	—
30	#1706	—	2	4	no	—
31	#1702	—	2	8	no	—
32	#1591	—	2	4	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₈	—	4	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#124	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	#500	—	2	2	no	—
52	#500	—	4	1	no	—
53	#497	—	4	8	no	—
54	#493	—	2	2	no	—
55	#493	—	4	1	no	—
56	#492	—	2	4	no	—
57	#492	—	2	4	no	—
58	#486	—	2	4	no	—
59	#486	—	2	4	no	—
60	#462	—	2	4	no	—
61	#462	—	4	2	no	—
62	#460	—	2	4	no	—
63	#460	—	4	2	no	—
64	#446	—	2	4	no	—
65	#446	—	2	4	no	—
66	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
67	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	—	4	1	no	—
69	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#103	—	2	2	no	—
75	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#398	—	4	2	no	—
86	#394	—	4	2	no	—
87	#391	—	2	2	no	—
88	#390	—	2	4	no	—
89	#390	—	2	2	no	—
90	#389	—	2	4	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	#340	—	2	4	no	—
93	#340	D₄	1	2	yes	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#335	—	2	2	no	—
96	#334	D₄	1	4	yes	—
97	#332	—	2	4	no	—
98	#331	—	2	4	no	—
99	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
100	C₈²	D₄	1	4	yes	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
111	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
112	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
113	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
114	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
120	C₂×D₈	—	4	4	no	—
121	C₂×D₈	—	8	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
135	#127	—	2	2	no	—
136	#127	—	2	2	no	—
137	#127	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	2	no	—
139	#124	—	4	4	no	—
140	#124	—	8	2	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#107	—	2	2	no	—
157	#107	—	4	4	no	—
158	#106	—	4	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
163	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	#103	—	2	4	no	—
165	#103	—	4	4	no	—
166	#102	—	4	4	no	—
167	#102	—	4	8	no	—
168	#102	—	4	4	no	—
169	#102	—	4	4	no	—
170	#97	—	4	4	no	—
171	#97	—	4	4	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
178	#95	—	2	2	no	—
179	#95	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	8	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
213	Q₁₆	—	4	4	no	—
214	Q₁₆	—	8	8	no	—
215	SD₁₆	—	8	8	no	—
216	SD₁₆	—	8	8	no	—
217	SD₁₆	—	8	8	no	—
218	D₈	—	8	8	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	4	2	no	—
250	C₄²	—	4	2	no	—
251	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	—	8	2	no	—
256	C₂³	—	8	2	no	—
257	C₂³	—	8	4	no	—
258	C₂³	—	8	4	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
261	Q₈	—	4	2	no	—
262	Q₈	—	4	2	no	—
263	Q₈	—	4	2	no	—
264	Q₈	—	4	2	no	—
265	Q₈	—	8	2	no	—
266	Q₈	—	8	2	no	—
267	Q₈	—	8	2	no	—
268	Q₈	—	8	2	no	—
269	D₄	—	8	4	no	—
270	D₄	—	8	4	no	—
271	D₄	—	8	2	no	—
272	D₄	—	8	2	no	—
273	D₄	—	8	2	no	—
274	D₄	—	8	2	no	—
275	D₄	—	8	2	no	—
276	D₄	—	8	2	no	—
277	D₄	—	16	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
300	C₈	—	2	4	no	—
301	C₈	—	2	2	no	—
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	2	2	no	—
304	C₈	—	4	4	no	—
305	C₈	—	8	2	no	—
306	C₈	#469	1	4	yes	—
307	C₂²	—	16	2	no	—
308	C₂²	—	16	2	no	—
309	C₂²	—	16	2	no	—
310	C₂²	—	16	4	no	—
311	C₂²	—	16	4	no	—
312	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#3274	1	2	yes	—
314	C₂²	#3277	1	2	yes	—
315	C₂²	#3291	1	2	yes	—
316	C₄	—	2	1	no	—
317	C₄	—	2	1	no	—
318	C₄	—	8	2	no	—
319	C₄	—	8	2	no	—
320	C₄	—	8	4	no	—
321	C₄	—	16	2	no	—
322	C₄	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
323	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
324	C₄	#3150	1	1	yes	characteristic
325	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
326	C₄	#3274	1	2	yes	—
327	C₄	#3402	1	2	yes	—
328	C₂	—	32	2	no	—
329	C₂	#20312	1	4	yes	—
330	C₂	#28469	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#28488	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#28502	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28648	C₂	semidirect
2. #28473	C₂	semidirect
4. C₂×#1702	C₂	semidirect
5. C₂×#1591	C₂	semidirect
6. #10067	C₂	semidirect
8. #9744	C₂	semidirect
9. #8283	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28648	2
#28473	2
C₂×#1706	2
C₂×#1702	2
C₂×#1591	2
#10067	2
#10047	2
#9744	2
#8283	2