Subgroups — #322237

Order 512.

841 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28743	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28415	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1590	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10071	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10052	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9746	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#470	—	2	2	no	—
18	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2548	C₂²	1	2	yes	—
23	#2542	C₂²	1	2	yes	—
24	#2094	—	2	2	no	—
25	#2054	—	2	2	no	—
26	#2012	—	2	2	no	—
27	#2001	—	2	2	no	—
28	#1982	C₂²	1	2	yes	—
29	#1981	C₂²	1	2	yes	—
30	#1972	—	2	2	no	—
31	#1972	—	2	2	no	—
32	#1959	—	2	2	no	—
33	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1770	C₂²	1	2	yes	—
35	#1709	—	2	4	no	—
36	#1690	—	2	4	no	—
37	#1687	—	2	4	no	—
38	#1590	—	2	4	no	—
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×SD₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#124	—	2	2	no	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#494	—	2	2	no	—
61	#494	—	2	2	no	—
62	#493	—	2	2	no	—
63	#493	—	2	2	no	—
64	#486	—	2	4	no	—
65	#486	—	2	4	no	—
66	#486	—	2	4	no	—
67	#486	—	4	2	no	—
68	#475	—	2	4	no	—
69	#475	—	4	2	no	—
70	#470	—	4	8	no	—
71	#459	—	2	4	no	—
72	#459	—	4	2	no	—
73	#446	—	2	2	no	—
74	#446	—	2	2	no	—
75	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
76	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
77	#436	—	2	2	no	—
78	#436	—	2	2	no	—
79	C₂×#106	—	2	2	no	—
80	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#103	—	2	2	no	—
87	C₂×#103	—	2	4	no	—
88	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	C₂×#102	—	2	2	no	—
92	C₂×#102	—	2	4	no	—
93	C₂×#102	—	4	2	no	—
94	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
96	C₂×#97	—	2	1	no	—
97	C₂×#97	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#399	—	4	2	no	—
102	#394	—	4	2	no	—
103	#390	—	2	2	no	—
104	#390	—	2	4	no	—
105	#390	—	2	2	no	—
106	#384	—	2	2	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	#340	D₄	1	2	yes	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#334	—	2	2	no	—
111	#334	D₄	1	4	yes	—
112	#332	—	2	4	no	—
113	#331	—	2	4	no	—
114	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
115	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
116	C₈²	D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	C₂×D₈	—	4	2	no	—
133	C₂×D₈	—	4	2	no	—
134	C₂×D₈	—	4	4	no	—
135	C₂×D₈	—	8	2	no	—
136	C₂×D₈	—	8	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#124	—	4	4	no	—
156	#124	—	8	2	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	—	2	1	no	—
165	C₄×D₄	—	2	1	no	—
166	C₄×D₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	#106	—	2	2	no	—
182	#106	—	2	4	no	—
183	#106	—	4	4	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
190	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	#103	—	2	2	no	—
192	#103	—	4	8	no	—
193	#103	—	4	4	no	—
194	#102	—	2	2	no	—
195	#102	—	4	4	no	—
196	#102	—	4	8	no	—
197	#102	—	4	4	no	—
198	#102	—	4	4	no	—
199	#102	—	8	4	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
201	#97	—	4	2	no	—
202	#97	—	8	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	1	no	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
209	#95	—	2	2	no	—
210	C₂⁴	—	2	1	no	—
211	C₂⁴	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	1	no	—
221	C₂×D₄	—	2	1	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
249	Q₁₆	—	8	4	no	—
250	Q₁₆	—	8	4	no	—
251	SD₁₆	—	4	4	no	—
252	D₈	—	8	4	no	—
253	D₈	—	8	8	no	—
254	D₈	—	8	4	no	—
255	M₁₆	—	8	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
291	C₄²	—	4	1	no	—
292	C₄²	—	4	1	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	4	1	no	—
303	C₂³	—	8	4	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	4	2	no	—
310	Q₈	—	4	1	no	—
311	Q₈	—	4	1	no	—
312	Q₈	—	8	4	no	—
313	Q₈	—	8	2	no	—
314	Q₈	—	8	2	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	D₄	—	4	1	no	—
317	D₄	—	4	1	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	8	2	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	2	no	—
324	D₄	—	8	2	no	—
325	D₄	—	8	2	no	—
326	D₄	—	16	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	1	no	—
339	C₂×C₄	—	8	1	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
352	C₈	—	2	2	no	—
353	C₈	—	2	2	no	—
354	C₈	—	2	2	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	4	4	no	—
357	C₈	—	8	1	no	—
358	C₈	—	8	1	no	—
359	C₈	#496	1	4	yes	—
360	C₂²	—	8	1	no	—
361	C₂²	—	8	1	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	8	1	no	—
364	C₂²	—	16	2	no	—
365	C₂²	—	16	2	no	—
366	C₂²	—	16	4	no	—
367	C₂²	—	16	4	no	—
368	C₂²	—	16	2	no	—
369	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3274	1	2	yes	—
371	C₂²	#3275	1	2	yes	—
372	C₂²	#3290	1	2	yes	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	8	1	no	—
376	C₄	—	8	1	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	—	8	1	no	—
379	C₄	—	16	2	no	—
380	C₄	#3054	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#3060	1	1	yes	characteristic
382	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#3275	1	2	yes	—
385	C₄	#3399	1	2	yes	—
386	C₂	—	16	1	no	—
387	C₂	—	32	2	no	—
388	C₂	#20298	1	4	yes	—
389	C₂	#28470	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#28487	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#28503	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1687	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28743	C₂	semidirect
2. #28489	C₂	semidirect
3. #28415	C₂	semidirect
4. C₂×#1709	C₂	semidirect
5. C₂×#1690	C₂	semidirect
7. C₂×#1590	C₂	semidirect
8. #10071	C₂	semidirect
9. #10052	C₂	semidirect
10. #9746	C₂	semidirect
11. #8283	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28743	2
#28489	2
#28415	2
C₂×#1709	2
C₂×#1690	2
C₂×#1687	2
C₂×#1590	2
#10071	2
#10052	2
#9746	2
#8283	2