Subgroups — #322239

Order 512.

1009 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 429 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28743	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28488	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28470	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1688	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1590	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10047	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10046	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9743	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#496	—	2	2	no	—
13	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#469	—	2	2	no	—
18	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2548	C₂²	1	2	yes	—
24	#2541	C₂²	1	2	yes	—
25	#2054	—	2	2	no	—
26	#2012	—	2	2	no	—
27	#2011	—	2	2	no	—
28	#1999	—	2	2	no	—
29	#1982	C₂²	1	2	yes	—
30	#1982	C₂²	1	2	yes	—
31	#1972	—	2	2	no	—
32	#1972	—	2	2	no	—
33	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1770	C₂²	1	2	yes	—
35	#1712	—	2	4	no	—
36	#1688	—	2	4	no	—
37	#1687	—	2	4	no	—
38	#1590	—	2	4	no	—
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
56	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
57	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#124	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#496	—	4	8	no	—
66	#493	—	2	2	no	—
67	#493	—	2	2	no	—
68	#493	—	2	4	no	—
69	#493	—	2	4	no	—
70	#493	—	2	2	no	—
71	#493	—	2	2	no	—
72	#493	—	2	4	no	—
73	#493	—	4	2	no	—
74	#469	—	4	8	no	—
75	#460	—	2	4	no	—
76	#460	—	4	2	no	—
77	#459	—	2	4	no	—
78	#459	—	4	2	no	—
79	#446	—	2	2	no	—
80	#446	—	2	2	no	—
81	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
82	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
83	#436	—	2	2	no	—
84	#436	—	2	2	no	—
85	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#102	—	2	2	no	—
93	C₂×#102	—	2	2	no	—
94	C₂×#102	—	2	4	no	—
95	C₂×#102	—	2	4	no	—
96	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×#97	—	2	2	no	—
99	C₂×#97	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#394	—	4	2	no	—
104	#392	—	4	2	no	—
105	#390	—	2	4	no	—
106	#390	—	2	2	no	—
107	#390	—	2	2	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	#340	D₄	1	2	yes	—
110	#336	—	2	2	no	—
111	#334	—	2	2	no	—
112	#334	D₄	1	4	yes	complemented
113	#331	—	2	4	no	—
114	#331	—	2	4	no	—
115	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
116	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
117	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
126	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	4	8	no	—
135	C₂×D₈	—	4	4	no	—
136	C₂×D₈	—	4	4	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	—	4	2	no	—
139	C₂×D₈	—	4	2	no	—
140	C₂×D₈	—	4	2	no	—
141	C₂×D₈	—	4	2	no	—
142	C₂×D₈	—	4	4	no	—
143	C₂×D₈	—	4	4	no	—
144	C₂×D₈	—	4	4	no	—
145	C₂×D₈	—	4	4	no	—
146	C₂×D₈	—	8	2	no	—
147	C₂×D₈	—	8	2	no	—
148	C₂×D₈	—	8	2	no	—
149	C₂×D₈	—	8	2	no	—
150	C₂×D₈	—	8	8	no	—
151	C₂×D₈	—	8	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	#127	—	2	2	no	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	2	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	—	2	2	no	—
169	#127	—	2	2	no	—
170	#127	—	4	4	no	—
171	#127	—	8	2	no	—
172	#124	—	4	4	no	—
173	#124	—	8	2	no	—
174	#121	—	4	8	no	—
175	#121	—	8	4	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
180	C₄×D₄	—	2	1	no	—
181	C₄×D₄	—	2	1	no	—
182	C₄×D₄	—	2	1	no	—
183	C₄×D₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	#106	—	2	2	no	—
196	#106	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
203	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	#103	—	2	2	no	—
205	#102	—	2	2	no	—
206	#102	—	4	4	no	—
207	#102	—	4	4	no	—
208	#102	—	4	8	no	—
209	#102	—	8	4	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
211	#97	—	4	2	no	—
212	#97	—	4	4	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
219	#95	—	2	2	no	—
220	C₂⁴	—	2	1	no	—
221	C₂⁴	—	4	2	no	—
222	C₂⁴	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	1	no	—
228	C₂×D₄	—	2	1	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	8	4	no	—
256	C₂×D₄	—	8	4	no	—
257	C₂×D₄	—	8	8	no	—
258	C₂×D₄	—	8	8	no	—
259	C₂×D₄	—	16	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	SD₁₆	—	4	4	no	—
272	SD₁₆	—	8	8	no	—
273	D₈	—	8	16	no	—
274	D₈	—	8	4	no	—
275	D₈	—	8	4	no	—
276	D₈	—	8	8	no	—
277	D₈	—	8	8	no	—
278	D₈	—	8	8	no	—
279	D₈	—	8	4	no	—
280	D₈	—	8	4	no	—
281	M₁₆	—	8	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	1	no	—
290	C₂×C₈	—	4	1	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
298	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
312	C₄²	—	4	1	no	—
313	C₄²	—	4	1	no	—
314	C₄²	—	4	2	no	—
315	C₄²	—	4	2	no	—
316	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	—	4	2	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	2	no	—
323	C₂³	—	4	1	no	—
324	C₂³	—	8	2	no	—
325	C₂³	—	8	4	no	—
326	C₂³	—	8	2	no	—
327	C₂³	—	8	4	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	—	8	2	no	—
330	C₂³	—	8	4	no	—
331	C₂³	—	8	4	no	—
332	C₂³	—	8	2	no	—
333	C₂³	—	8	2	no	—
334	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	4	2	no	—
336	Q₈	—	4	1	no	—
337	Q₈	—	4	1	no	—
338	D₄	—	4	2	no	—
339	D₄	—	4	1	no	—
340	D₄	—	4	1	no	—
341	D₄	—	8	4	no	—
342	D₄	—	8	4	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	D₄	—	8	4	no	—
345	D₄	—	8	2	no	—
346	D₄	—	8	2	no	—
347	D₄	—	8	2	no	—
348	D₄	—	8	2	no	—
349	D₄	—	8	2	no	—
350	D₄	—	8	2	no	—
351	D₄	—	8	2	no	—
352	D₄	—	8	2	no	—
353	D₄	—	8	2	no	—
354	D₄	—	8	2	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	D₄	—	16	2	no	—
358	D₄	—	16	2	no	—
359	D₄	—	16	16	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	1	no	—
368	C₂×C₄	—	4	1	no	—
369	C₂×C₄	—	4	1	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	8	1	no	—
372	C₂×C₄	—	8	1	no	—
373	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
383	C₈	—	2	4	no	—
384	C₈	—	2	2	no	—
385	C₈	—	2	2	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	—	8	1	no	—
388	C₈	—	8	1	no	—
389	C₈	#469	1	4	yes	complemented
390	C₈	#496	1	4	yes	complemented
391	C₂²	—	8	1	no	—
392	C₂²	—	8	1	no	—
393	C₂²	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	8	1	no	—
395	C₂²	—	16	2	no	—
396	C₂²	—	16	2	no	—
397	C₂²	—	16	2	no	—
398	C₂²	—	16	2	no	—
399	C₂²	—	16	4	no	—
400	C₂²	—	16	4	no	—
401	C₂²	—	16	4	no	—
402	C₂²	—	16	4	no	—
403	C₂²	—	16	2	no	—
404	C₂²	—	16	2	no	—
405	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#3274	1	2	yes	—
407	C₂²	#3274	1	2	yes	—
408	C₂²	#3292	1	2	yes	—
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	2	1	no	—
411	C₄	—	8	1	no	—
412	C₄	—	8	1	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	—	8	1	no	—
415	C₄	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
417	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#3274	1	2	yes	—
420	C₄	#3399	1	2	yes	—
421	C₂	—	16	1	no	—
422	C₂	—	32	2	no	—
423	C₂	—	32	2	no	—
424	C₂	#20310	1	4	yes	—
425	C₂	#28470	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#28488	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#28504	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28743	C₂	semidirect
2. #28488	C₂	semidirect
3. #28470	C₂	semidirect
4. C₂×#1712	C₂	semidirect
5. C₂×#1688	C₂	semidirect
6. C₂×#1687	C₂	semidirect
7. C₂×#1590	C₂	semidirect
8. #10047	C₂	semidirect
9. #10046	C₂	semidirect
10. #9743	C₂	semidirect
11. #8283	C₂	semidirect
112. #334	D₄	semidirect
117. C₈²	D₄	semidirect
389. C₈	#469	semidirect
390. C₈	#496	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28743	2
#28488	2
#28470	2
C₂×#1712	2
C₂×#1688	2
C₂×#1687	2
C₂×#1590	2
#10047	2
#10046	2
#9743	2
#8283	2