Subgroups — #322252

Order 512.

776 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28711	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28541	C₂	1	2	yes	maximal
3	#28489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1695	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1689	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10072	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10060	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9741	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#470	—	2	2	no	—
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2563	C₂²	1	2	yes	—
23	#2542	C₂²	1	2	yes	—
24	#2094	—	2	2	no	—
25	#2092	—	2	2	no	—
26	#2075	—	2	2	no	—
27	#2001	—	2	2	no	—
28	#1987	C₂²	1	2	yes	—
29	#1981	C₂²	1	2	yes	—
30	#1972	—	2	2	no	—
31	#1847	—	2	2	no	—
32	#1809	—	2	2	no	—
33	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1770	C₂²	1	2	yes	—
35	#1707	—	2	4	no	—
36	#1695	—	2	4	no	—
37	#1689	—	2	4	no	—
38	#1589	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#500	—	2	2	no	—
58	#500	—	2	2	no	—
59	#498	—	2	4	no	—
60	#498	—	2	4	no	—
61	#494	—	2	2	no	—
62	#494	—	2	2	no	—
63	#487	—	2	4	no	—
64	#487	—	4	2	no	—
65	#476	—	2	4	no	—
66	#476	—	4	2	no	—
67	#474	—	2	4	no	—
68	#474	—	4	2	no	—
69	#470	—	4	8	no	—
70	C₄×D₈	—	2	2	no	—
71	C₄×D₈	—	2	2	no	—
72	#436	—	2	2	no	—
73	#436	—	2	2	no	—
74	#436	—	2	2	no	—
75	#436	—	2	2	no	—
76	C₂×#107	—	2	1	no	—
77	C₂×#107	—	2	1	no	—
78	C₂×#107	—	2	2	no	—
79	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#106	—	2	2	no	—
81	C₂×#106	—	2	2	no	—
82	C₂×#106	—	2	2	no	—
83	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#103	—	2	4	no	—
88	C₂×#103	—	4	2	no	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×#97	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#399	—	4	2	no	—
100	#393	—	4	2	no	—
101	#390	—	2	2	no	—
102	#390	—	2	2	no	—
103	#384	—	2	2	no	—
104	#382	—	2	2	no	—
105	#380	—	2	4	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	#340	D₄	1	2	yes	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#335	—	2	2	no	—
111	#334	D₄	1	4	yes	—
112	#333	—	2	4	no	—
113	#332	—	2	4	no	—
114	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
115	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
116	C₈²	D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
127	C₂×D₈	—	2	2	no	—
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	1	no	—
152	C₄×D₄	—	2	1	no	—
153	C₄×D₄	—	2	1	no	—
154	C₄×D₄	—	2	1	no	—
155	C₄×D₄	—	2	1	no	—
156	C₄×D₄	—	2	1	no	—
157	C₄×D₄	—	2	1	no	—
158	C₄×D₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	#107	—	2	2	no	—
174	#107	—	4	4	no	—
175	#107	—	4	2	no	—
176	#107	—	4	2	no	—
177	#106	—	2	4	no	—
178	#106	—	4	4	no	—
179	#106	—	4	4	no	—
180	#106	—	4	4	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	#103	—	4	8	no	—
188	#103	—	4	8	no	—
189	#102	—	2	2	no	—
190	#102	—	2	2	no	—
191	#102	—	4	4	no	—
192	#102	—	4	4	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
195	#97	—	4	4	no	—
196	C₄×C₈	—	2	1	no	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
202	#95	—	2	2	no	—
203	#95	—	4	4	no	—
204	C₂⁴	—	2	1	no	—
205	C₂⁴	—	2	1	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	1	no	—
214	C₂×D₄	—	2	1	no	—
215	C₂×D₄	—	2	1	no	—
216	C₂×D₄	—	2	1	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
237	Q₁₆	—	8	4	no	—
238	Q₁₆	—	8	4	no	—
239	D₈	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	8	4	no	—
241	M₁₆	—	8	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	1	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
280	C₄²	—	4	2	no	—
281	C₄²	—	4	2	no	—
282	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	1	no	—
293	C₂³	—	4	1	no	—
294	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	8	4	no	—
296	Q₈	—	8	4	no	—
297	Q₈	—	8	2	no	—
298	Q₈	—	8	2	no	—
299	Q₈	—	16	2	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	D₄	—	4	2	no	—
302	D₄	—	4	1	no	—
303	D₄	—	4	1	no	—
304	D₄	—	4	1	no	—
305	D₄	—	4	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	1	no	—
317	C₂×C₄	—	8	1	no	—
318	C₂×C₄	—	8	1	no	—
319	C₂×C₄	—	8	1	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	4	2	no	—
337	C₈	—	4	4	no	—
338	C₈	—	8	1	no	—
339	C₈	—	8	1	no	—
340	C₈	#470	1	4	yes	complemented
341	C₈	#496	1	4	yes	—
342	C₂²	—	8	1	no	—
343	C₂²	—	8	1	no	—
344	C₂²	—	8	1	no	—
345	C₂²	—	8	1	no	—
346	C₂²	—	8	1	no	—
347	C₂²	—	8	1	no	—
348	C₂²	—	8	4	no	—
349	C₂²	—	8	4	no	—
350	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#3272	1	2	yes	—
352	C₂²	#3276	1	2	yes	—
353	C₂²	#3290	1	2	yes	—
354	C₄	—	2	1	no	—
355	C₄	—	2	1	no	—
356	C₄	—	8	1	no	—
357	C₄	—	8	1	no	—
358	C₄	—	8	4	no	—
359	C₄	—	16	2	no	—
360	C₄	—	16	2	no	—
361	C₄	C₂×#470	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#3059	1	1	yes	characteristic
363	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#3154	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#3276	1	2	yes	—
366	C₄	#3397	1	2	yes	—
367	C₂	—	16	1	no	—
368	C₂	—	16	1	no	—
369	C₂	#20315	1	4	yes	—
370	C₂	#28472	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#28489	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#28503	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28711	C₂	semidirect
3. #28489	C₂	semidirect
4. C₂×#1707	C₂	semidirect
5. C₂×#1695	C₂	semidirect
6. C₂×#1689	C₂	semidirect
8. #10072	C₂	semidirect
9. #10060	C₂	semidirect
10. #9741	C₂	semidirect
11. #8283	C₂	semidirect
340. C₈	#470	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28711	2
#28541	2
#28489	2
C₂×#1707	2
C₂×#1695	2
C₂×#1689	2
C₂×#1589	2
#10072	2
#10060	2
#9741	2
#8283	2