Subgroups — #322257

Order 512.

828 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28743	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28683	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28473	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1694	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1688	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10063	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10051	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9744	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#497	—	2	2	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2548	C₂²	1	2	yes	—
23	#2546	C₂²	1	2	yes	—
24	#2087	—	2	2	no	—
25	#2054	—	2	2	no	—
26	#2015	—	2	2	no	—
27	#2013	—	2	2	no	—
28	#1988	C₂²	1	2	yes	—
29	#1982	C₂²	1	2	yes	—
30	#1973	—	2	2	no	—
31	#1972	—	2	2	no	—
32	#1944	—	2	2	no	—
33	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1770	C₂²	1	2	yes	—
35	#1706	—	2	4	no	—
36	#1694	—	2	4	no	—
37	#1688	—	2	4	no	—
38	#1591	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#124	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#500	—	2	2	no	—
61	#500	—	2	2	no	—
62	#497	—	4	8	no	—
63	#493	—	2	2	no	—
64	#493	—	2	2	no	—
65	#492	—	2	4	no	—
66	#492	—	2	4	no	—
67	#486	—	2	4	no	—
68	#486	—	4	2	no	—
69	#462	—	2	4	no	—
70	#462	—	4	2	no	—
71	#460	—	2	4	no	—
72	#460	—	4	2	no	—
73	#446	—	2	2	no	—
74	#446	—	2	2	no	—
75	#446	—	2	2	no	—
76	#446	—	2	2	no	—
77	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
78	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
79	C₂×#107	—	2	1	no	—
80	C₂×#107	—	2	1	no	—
81	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#103	—	2	2	no	—
89	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#102	—	2	2	no	—
92	C₂×#102	—	2	4	no	—
93	C₂×#102	—	4	2	no	—
94	C₂×#97	—	2	2	no	—
95	C₂×#97	—	2	1	no	—
96	C₂×#97	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#398	—	4	2	no	—
101	#394	—	4	2	no	—
102	#391	—	2	2	no	—
103	#390	—	2	4	no	—
104	#390	—	2	2	no	—
105	#389	—	2	4	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	#340	D₄	1	2	yes	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#335	—	2	2	no	—
111	#334	D₄	1	4	yes	—
112	#332	—	2	4	no	—
113	#331	—	2	4	no	—
114	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
115	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
116	C₈²	D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
137	C₂×D₈	—	4	2	no	—
138	C₂×D₈	—	4	2	no	—
139	C₂×D₈	—	4	4	no	—
140	C₂×D₈	—	8	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#124	—	4	4	no	—
160	#124	—	8	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	#107	—	2	2	no	—
184	#107	—	4	2	no	—
185	#107	—	4	2	no	—
186	#106	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
194	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	#103	—	2	2	no	—
196	#103	—	2	2	no	—
197	#103	—	4	4	no	—
198	#102	—	4	4	no	—
199	#102	—	4	8	no	—
200	#102	—	8	4	no	—
201	#97	—	4	2	no	—
202	#97	—	4	2	no	—
203	#97	—	4	4	no	—
204	C₄×C₈	—	2	1	no	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
210	#95	—	2	2	no	—
211	#95	—	4	4	no	—
212	C₂⁴	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
249	Q₁₆	—	4	4	no	—
250	Q₁₆	—	8	8	no	—
251	SD₁₆	—	8	8	no	—
252	SD₁₆	—	8	8	no	—
253	SD₁₆	—	8	8	no	—
254	D₈	—	8	4	no	—
255	D₈	—	8	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
290	C₄²	—	4	1	no	—
291	C₄²	—	4	1	no	—
292	C₄²	—	4	1	no	—
293	C₄²	—	4	1	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	4	2	no	—
296	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	—	8	2	no	—
302	C₂³	—	8	4	no	—
303	C₂³	—	8	4	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	4	2	no	—
307	Q₈	—	4	2	no	—
308	Q₈	—	4	1	no	—
309	Q₈	—	4	1	no	—
310	Q₈	—	4	1	no	—
311	Q₈	—	4	1	no	—
312	Q₈	—	8	2	no	—
313	Q₈	—	8	2	no	—
314	Q₈	—	8	2	no	—
315	Q₈	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	4	no	—
317	D₄	—	8	4	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	2	no	—
320	D₄	—	8	2	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	2	no	—
324	D₄	—	16	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	—	4	2	no	—
353	C₈	—	4	4	no	—
354	C₈	—	8	1	no	—
355	C₈	—	8	1	no	—
356	C₈	#469	1	4	yes	—
357	C₈	#497	1	4	yes	complemented
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	—	16	2	no	—
361	C₂²	—	16	4	no	—
362	C₂²	—	16	4	no	—
363	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#3274	1	2	yes	—
365	C₂²	#3278	1	2	yes	—
366	C₂²	#3290	1	2	yes	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	8	1	no	—
370	C₄	—	8	1	no	—
371	C₄	—	8	1	no	—
372	C₄	—	8	1	no	—
373	C₄	—	8	4	no	—
374	C₄	—	16	2	no	—
375	C₄	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
377	C₄	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3154	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#3274	1	2	yes	—
380	C₄	#3400	1	2	yes	—
381	C₂	—	32	2	no	—
382	C₂	#20313	1	4	yes	—
383	C₂	#28473	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#28488	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#28503	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28683	C₂	semidirect
3. #28473	C₂	semidirect
5. C₂×#1694	C₂	semidirect
7. C₂×#1591	C₂	semidirect
8. #10063	C₂	semidirect
9. #10051	C₂	semidirect
10. #9744	C₂	semidirect
11. #8283	C₂	semidirect
357. C₈	#497	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28743	2
#28683	2
#28473	2
C₂×#1706	2
C₂×#1694	2
C₂×#1688	2
C₂×#1591	2
#10063	2
#10051	2
#9744	2
#8283	2