Subgroups — #322325

Order 512.

840 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28494	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#19630	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19629	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#19186	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#17956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10150	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3226	C₂²	1	2	yes	—
13	#3205	C₂²	1	2	yes	—
14	#3169	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#3152	C₂²	1	2	yes	—
17	#3151	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#471	—	2	4	no	—
22	#2931	C₂²	1	2	yes	—
23	#2019	—	2	4	no	—
24	#1966	C₂²	1	2	yes	—
25	#1965	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1722	—	2	2	no	—
28	#1721	—	2	2	no	—
29	#1713	—	2	1	no	—
30	#1712	—	2	1	no	—
31	#1706	—	2	1	no	—
32	#1706	—	2	1	no	—
33	#1706	—	2	2	no	—
34	#1706	—	2	2	no	—
35	#1685	—	2	4	no	—
36	#1665	—	2	4	no	—
37	#1589	—	2	2	no	—
38	C₈×D₈	—	2	2	no	—
39	#1567	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1546	C₂²	1	2	yes	—
42	#1545	C₂²	1	2	yes	—
43	#1492	C₂²	1	2	yes	—
44	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#137	—	2	4	no	—
50	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
51	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
54	C₂×#131	—	2	2	no	—
55	#532	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
58	#500	—	2	2	no	—
59	#500	—	2	2	no	—
60	#500	—	2	1	no	—
61	#500	—	2	1	no	—
62	#500	D₄	1	1	yes	characteristic
63	#497	—	4	2	no	—
64	#496	—	4	2	no	—
65	#494	—	2	2	no	—
66	#493	—	2	2	no	—
67	#493	—	2	2	no	—
68	#493	—	2	2	no	—
69	#493	—	2	1	no	—
70	#493	—	2	1	no	—
71	#493	D₄	1	1	yes	characteristic
72	#492	—	2	2	no	—
73	#492	—	2	2	no	—
74	#492	—	2	2	no	—
75	#492	—	2	2	no	—
76	#492	—	2	2	no	—
77	#492	—	2	2	no	—
78	#486	—	2	2	no	—
79	#486	—	2	2	no	—
80	#486	—	2	4	no	—
81	#486	—	4	2	no	—
82	#486	D₄	1	2	yes	—
83	#480	—	4	2	no	—
84	#474	—	2	4	no	—
85	#471	—	4	16	no	—
86	#466	—	2	2	no	—
87	#459	—	2	4	no	—
88	#447	—	4	2	no	—
89	C₄×D₈	—	2	2	no	—
90	#436	—	2	2	no	—
91	#436	—	2	2	no	—
92	C₈×D₄	—	2	2	no	—
93	C₈×D₄	—	2	2	no	—
94	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×#108	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×#107	—	2	2	no	—
98	#423	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×#102	—	4	2	no	—
100	C₂×#101	—	2	4	no	—
101	C₂×#100	—	2	4	no	—
102	#408	—	2	2	no	—
103	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#341	D₄	1	2	yes	—
109	#335	—	2	2	no	—
110	#335	D₄	1	2	yes	—
111	#334	D₄	1	2	yes	—
112	#332	—	2	4	no	—
113	#331	—	2	4	no	—
114	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
115	#322	—	2	1	no	—
116	#322	—	2	1	no	—
117	C₈²	—	2	1	no	—
118	C₈²	—	2	1	no	—
119	C₈²	D₄	1	2	yes	—
120	C₈²	D₄	1	2	yes	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	#137	—	4	8	no	—
127	#137	—	8	4	no	—
128	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
129	AGL(1,ℤ/8)	—	8	4	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
139	C₂×D₈	—	2	2	no	—
140	C₂×D₈	—	4	4	no	—
141	C₂×D₈	—	4	4	no	—
142	C₂×D₈	—	4	2	no	—
143	C₂×D₈	—	4	2	no	—
144	C₂×D₈	—	8	4	no	—
145	#131	—	4	8	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	#127	—	2	2	no	—
161	#127	—	2	2	no	—
162	#127	—	2	2	no	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	#124	—	2	2	no	—
166	#121	—	2	2	no	—
167	#121	—	2	2	no	—
168	C₄×D₄	—	2	2	no	—
169	C₄×D₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	#108	D₈	1	8	yes	complemented
174	#107	—	2	2	no	—
175	#107	—	4	4	no	—
176	#107	—	4	2	no	—
177	#107	—	4	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	#102	—	2	4	no	—
183	#102	—	4	4	no	—
184	#102	—	4	4	no	—
185	#102	—	4	8	no	—
186	#101	—	4	8	no	—
187	#100	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
192	#97	—	2	1	no	—
193	#97	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	2	1	no	—
195	C₄×C₈	—	2	1	no	—
196	C₄×C₈	—	2	1	no	—
197	C₄×C₈	—	2	1	no	—
198	C₄×C₈	—	2	1	no	—
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂⁴	—	4	2	no	—
208	#41	—	4	4	no	—
209	#41	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	8	4	no	—
228	C₂×D₄	—	8	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
234	Q₁₆	—	8	8	no	—
235	SD₁₆	—	8	8	no	—
236	SD₁₆	—	8	8	no	—
237	SD₁₆	—	8	4	no	—
238	SD₁₆	—	8	4	no	—
239	SD₁₆	—	8	4	no	—
240	SD₁₆	—	8	4	no	—
241	D₈	—	4	4	no	—
242	D₈	—	8	8	no	—
243	D₈	—	8	4	no	—
244	D₈	—	8	4	no	—
245	D₈	—	16	4	no	—
246	M₁₆	—	2	2	no	—
247	M₁₆	—	2	2	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	M₁₆	—	8	4	no	—
250	M₁₆	C₂×D₈	1	4	yes	—
251	M₁₆	C₂×D₈	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	8	4	no	—
262	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	4	no	—
284	C₂³	—	16	2	no	—
285	C₂³	—	16	2	no	—
286	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	4	4	no	—
288	Q₈	—	8	2	no	—
289	Q₈	—	8	2	no	—
290	Q₈	—	8	4	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	2	no	—
297	D₄	—	8	2	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	D₄	—	16	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
317	C₈	—	2	1	no	—
318	C₈	—	2	1	no	—
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	4	2	no	—
323	C₈	—	4	2	no	—
324	C₈	—	4	2	no	—
325	C₈	—	8	2	no	—
326	C₈	#471	1	4	yes	complemented
327	C₈	#493	1	2	yes	—
328	C₈	#493	1	2	yes	—
329	C₂²	—	2	1	no	—
330	C₂²	—	2	1	no	—
331	C₂²	—	8	2	no	—
332	C₂²	—	8	2	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	16	2	no	—
335	C₂²	—	16	2	no	—
336	C₂²	—	16	2	no	—
337	C₂²	—	32	4	no	—
338	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#3391	1	2	yes	—
340	C₄	—	2	1	no	—
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	8	2	no	—
343	C₄	—	16	2	no	—
344	C₄	C₂×#471	1	2	yes	—
345	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
347	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
348	C₄	#3290	1	2	yes	—
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	16	2	no	—
351	C₂	—	32	2	no	—
352	C₂	#28458	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#28494	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#28501	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2541
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#19629	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28494	C₂	semidirect
2. #19630	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. #19186	C₂	semidirect
6. #17956	C₂	semidirect
7. #10168	C₂	semidirect
8. #10150	C₂	semidirect
9. #9802	C₂	semidirect
10. #9799	C₂	semidirect
11. C₈×#108	C₂	semidirect
173. #108	D₈	semidirect
326. C₈	#471	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28494	2
#19630	2
#19629	2
C₂×#1706	2
#19186	2
#17956	2
#10168	2
#10150	2
#9802	2
#9799	2
C₈×#108	2