Subgroups — #322326

Order 512.

840 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 331 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28494	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#19631	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#19186	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#17956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10174	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10144	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9796	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₈×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3226	C₂²	1	2	yes	—
11	#3205	C₂²	1	2	yes	—
12	#3169	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3152	C₂²	1	2	yes	—
15	#3151	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#471	—	2	4	no	—
20	#2931	C₂²	1	2	yes	—
21	#2019	—	2	4	no	—
22	#1966	C₂²	1	2	yes	—
23	#1965	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1722	—	2	2	no	—
26	#1721	—	2	2	no	—
27	#1709	—	2	2	no	—
28	#1706	—	2	2	no	—
29	#1706	—	2	2	no	—
30	#1706	—	2	2	no	—
31	#1685	—	2	4	no	—
32	#1665	—	2	4	no	—
33	#1589	—	2	2	no	—
34	C₈×D₈	—	2	2	no	—
35	#1567	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1546	C₂²	1	2	yes	—
38	#1545	C₂²	1	2	yes	—
39	#1492	C₂²	1	2	yes	—
40	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1278	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#137	—	2	4	no	—
44	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₈	—	4	1	no	—
48	C₂×#131	—	2	2	no	—
49	#532	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
52	#500	—	2	2	no	—
53	#500	—	2	2	no	—
54	#500	—	4	1	no	—
55	#500	D₄	1	1	yes	characteristic
56	#497	—	4	2	no	—
57	#496	—	4	2	no	—
58	#494	—	2	2	no	—
59	#493	—	2	2	no	—
60	#493	—	2	2	no	—
61	#493	—	2	2	no	—
62	#493	—	4	1	no	—
63	#493	D₄	1	1	yes	characteristic
64	#492	—	2	2	no	—
65	#492	—	2	2	no	—
66	#492	—	2	2	no	—
67	#492	—	2	2	no	—
68	#492	—	2	2	no	—
69	#492	—	2	2	no	—
70	#486	—	2	2	no	—
71	#486	—	2	2	no	—
72	#486	—	2	4	no	—
73	#486	—	2	2	no	—
74	#486	—	2	2	no	—
75	#486	D₄	1	2	yes	—
76	#480	—	4	2	no	—
77	#474	—	2	4	no	—
78	#471	—	4	16	no	—
79	#466	—	2	2	no	—
80	#459	—	2	4	no	—
81	#447	—	4	2	no	—
82	C₄×D₈	—	2	2	no	—
83	#436	—	2	2	no	—
84	#436	—	2	2	no	—
85	C₈×D₄	—	2	2	no	—
86	C₈×D₄	—	2	2	no	—
87	#431	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#108	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×#107	—	4	1	no	—
90	#423	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#101	—	2	4	no	—
93	C₂×#100	—	2	4	no	—
94	#408	—	2	2	no	—
95	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#341	D₄	1	2	yes	—
100	#335	—	2	2	no	—
101	#335	D₄	1	2	yes	—
102	#334	D₄	1	2	yes	—
103	#332	—	2	4	no	—
104	#331	—	2	4	no	—
105	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
106	#322	—	2	2	no	—
107	C₈²	—	2	2	no	—
108	C₈²	D₄	1	2	yes	—
109	C₈²	D₄	1	2	yes	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	#137	—	4	8	no	—
116	#137	—	8	4	no	—
117	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
118	AGL(1,ℤ/8)	—	8	4	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
128	C₂×D₈	—	2	2	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	C₂×D₈	—	8	4	no	—
133	#131	—	4	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	#124	—	2	2	no	—
153	#121	—	2	2	no	—
154	#121	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	#108	D₈	1	8	yes	complemented
161	#107	—	2	2	no	—
162	#107	—	4	4	no	—
163	#107	—	4	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	#102	—	2	4	no	—
168	#102	—	4	4	no	—
169	#102	—	4	4	no	—
170	#102	—	4	4	no	—
171	#102	—	4	4	no	—
172	#101	—	4	8	no	—
173	#100	—	4	8	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
177	#97	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂⁴	—	4	2	no	—
190	#41	—	4	4	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	8	4	no	—
210	C₂×D₄	—	8	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
216	Q₁₆	—	8	8	no	—
217	SD₁₆	—	8	8	no	—
218	SD₁₆	—	8	8	no	—
219	SD₁₆	—	8	4	no	—
220	SD₁₆	—	8	4	no	—
221	SD₁₆	—	8	4	no	—
222	SD₁₆	—	8	4	no	—
223	D₈	—	4	4	no	—
224	D₈	—	8	8	no	—
225	D₈	—	8	8	no	—
226	D₈	—	16	4	no	—
227	M₁₆	—	2	4	no	—
228	M₁₆	—	4	4	no	—
229	M₁₆	—	8	4	no	—
230	M₁₆	C₂×D₈	1	8	yes	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	8	4	no	—
239	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	—	8	4	no	—
261	C₂³	—	16	2	no	—
262	C₂³	—	16	2	no	—
263	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
264	Q₈	—	4	4	no	—
265	Q₈	—	8	2	no	—
266	Q₈	—	8	2	no	—
267	Q₈	—	8	4	no	—
268	D₄	—	4	4	no	—
269	D₄	—	4	4	no	—
270	D₄	—	4	4	no	—
271	D₄	—	8	4	no	—
272	D₄	—	8	4	no	—
273	D₄	—	8	2	no	—
274	D₄	—	8	2	no	—
275	D₄	—	8	4	no	—
276	D₄	—	8	4	no	—
277	D₄	—	8	4	no	—
278	D₄	—	16	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	4	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
294	C₈	—	2	4	no	—
295	C₈	—	2	1	no	—
296	C₈	—	2	1	no	—
297	C₈	—	2	8	no	—
298	C₈	—	2	2	no	—
299	C₈	—	2	2	no	—
300	C₈	—	4	4	no	—
301	C₈	—	8	2	no	—
302	C₈	#493	1	2	yes	—
303	C₈	#493	1	2	yes	—
304	C₂²	—	2	1	no	—
305	C₂²	—	2	1	no	—
306	C₂²	—	8	2	no	—
307	C₂²	—	8	2	no	—
308	C₂²	—	8	2	no	—
309	C₂²	—	16	2	no	—
310	C₂²	—	16	2	no	—
311	C₂²	—	16	2	no	—
312	C₂²	—	32	4	no	—
313	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#3391	1	2	yes	—
315	C₄	—	2	1	no	—
316	C₄	—	2	1	no	—
317	C₄	—	8	2	no	—
318	C₄	—	16	2	no	—
319	C₄	#3067	1	2	yes	—
320	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
321	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
322	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
323	C₄	#3291	1	2	yes	—
324	C₂	—	2	2	no	—
325	C₂	—	16	2	no	—
326	C₂	—	32	2	no	—
327	C₂	#28458	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#28495	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#28502	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2541
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28494	C₂	semidirect
2. #19631	C₂	semidirect
3. C₂×#1706	C₂	semidirect
4. #19186	C₂	semidirect
5. #17956	C₂	semidirect
6. #10174	C₂	semidirect
7. #10144	C₂	semidirect
8. #9796	C₂	semidirect
9. C₈×#108	C₂	semidirect
160. #108	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28494	2
#19631	2
C₂×#1706	2
#19186	2
#17956	2
#10174	2
#10144	2
#9796	2
C₈×#108	2