Subgroups — #322365

Order 512.

744 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28632	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#19639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19629	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#19196	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#17956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10160	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10148	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3227	C₂²	1	2	yes	—
13	#3205	C₂²	1	2	yes	—
14	#3169	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3151	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#3141	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
21	#2931	C₂²	1	2	yes	—
22	#2051	—	2	4	no	—
23	#1997	C₂²	1	2	yes	—
24	#1965	C₂²	1	2	yes	—
25	#1907	—	2	4	no	—
26	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1721	—	2	2	no	—
28	#1720	—	2	2	no	—
29	#1712	—	2	1	no	—
30	#1709	—	2	1	no	—
31	#1709	—	2	2	no	—
32	#1709	—	2	2	no	—
33	#1707	—	2	1	no	—
34	#1706	—	2	1	no	—
35	#1697	—	2	4	no	—
36	#1677	—	2	4	no	—
37	#1589	—	2	2	no	—
38	C₈×D₈	—	2	2	no	—
39	#1567	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1548	C₂²	1	2	yes	—
42	#1545	C₂²	1	2	yes	—
43	#1492	C₂²	1	2	yes	—
44	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
52	C₂×#131	—	2	2	no	—
53	#532	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
56	#500	D₄	1	1	yes	characteristic
57	#498	—	2	2	no	—
58	#496	—	4	2	no	—
59	#494	—	2	1	no	—
60	#494	—	2	2	no	—
61	#494	—	2	1	no	—
62	#493	—	2	2	no	—
63	#493	—	2	2	no	—
64	#493	—	2	1	no	—
65	#493	—	2	2	no	—
66	#493	—	2	1	no	—
67	#493	D₄	1	1	yes	characteristic
68	#492	—	2	2	no	—
69	#489	—	4	2	no	—
70	#487	—	2	2	no	—
71	#486	—	2	2	no	—
72	#486	—	2	2	no	—
73	#486	—	2	2	no	—
74	#486	—	2	2	no	—
75	#486	—	2	2	no	—
76	#486	—	2	4	no	—
77	#486	—	2	2	no	—
78	#486	—	2	2	no	—
79	#486	—	4	2	no	—
80	#486	D₄	1	2	yes	—
81	#481	—	4	2	no	—
82	#476	—	2	4	no	—
83	#466	—	2	2	no	—
84	#459	—	2	4	no	—
85	#447	—	4	2	no	—
86	C₄×D₈	—	2	2	no	—
87	#436	—	2	2	no	—
88	#436	—	2	2	no	—
89	C₈×D₄	—	2	2	no	—
90	C₈×D₄	—	2	2	no	—
91	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#108	D₄	1	2	yes	—
94	#423	C₂³	1	2	yes	—
95	#417	—	2	4	no	—
96	C₂×#102	—	2	2	no	—
97	C₂×#102	—	2	2	no	—
98	C₂×#102	—	4	2	no	—
99	C₂×#100	—	2	4	no	—
100	#408	—	2	2	no	—
101	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#343	—	2	4	no	—
107	#341	D₄	1	2	yes	—
108	#335	—	2	2	no	—
109	#335	D₄	1	2	yes	—
110	#334	D₄	1	2	yes	—
111	#333	—	2	4	no	—
112	#331	—	2	4	no	—
113	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
114	#322	—	2	1	no	—
115	#322	—	2	1	no	—
116	C₈²	—	2	1	no	—
117	C₈²	—	2	1	no	—
118	C₈²	D₄	1	2	yes	—
119	C₈²	D₄	1	2	yes	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
126	AGL(1,ℤ/8)	—	8	4	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	2	2	no	—
132	C₂×D₈	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	4	2	no	—
135	C₂×D₈	—	4	2	no	—
136	C₂×D₈	—	8	4	no	—
137	#131	—	8	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	#124	—	2	2	no	—
158	#121	—	2	2	no	—
159	#121	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	#108	—	2	4	no	—
166	#107	—	2	2	no	—
167	#106	—	4	4	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	#103	—	4	4	no	—
173	#102	—	2	4	no	—
174	#102	—	4	4	no	—
175	#102	—	4	4	no	—
176	#102	—	4	4	no	—
177	#102	—	4	8	no	—
178	#102	—	4	2	no	—
179	#102	—	4	2	no	—
180	#102	—	4	2	no	—
181	#102	—	4	2	no	—
182	#100	—	8	4	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
187	#97	—	2	1	no	—
188	#97	—	2	1	no	—
189	C₄×C₈	—	2	1	no	—
190	C₄×C₈	—	2	1	no	—
191	C₄×C₈	—	2	1	no	—
192	C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂⁴	—	4	2	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	8	4	no	—
222	C₂×D₄	—	8	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
228	Q₁₆	—	8	4	no	—
229	Q₁₆	—	8	4	no	—
230	SD₁₆	—	8	8	no	—
231	D₈	—	4	4	no	—
232	D₈	—	8	8	no	—
233	D₈	—	8	4	no	—
234	D₈	—	8	4	no	—
235	D₈	—	16	4	no	—
236	M₁₆	—	2	2	no	—
237	M₁₆	—	2	2	no	—
238	M₁₆	—	2	2	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	8	4	no	—
241	M₁₆	#135	1	4	yes	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	8	4	no	—
253	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	4	no	—
274	C₂³	—	16	2	no	—
275	C₂³	—	16	2	no	—
276	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	4	4	no	—
278	Q₈	—	8	4	no	—
279	Q₈	—	16	2	no	—
280	D₄	—	4	4	no	—
281	D₄	—	4	4	no	—
282	D₄	—	4	4	no	—
283	D₄	—	8	4	no	—
284	D₄	—	8	4	no	—
285	D₄	—	8	2	no	—
286	D₄	—	8	2	no	—
287	D₄	—	8	4	no	—
288	D₄	—	8	4	no	—
289	D₄	—	8	4	no	—
290	D₄	—	16	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	16	2	no	—
298	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
306	C₈	—	2	1	no	—
307	C₈	—	2	1	no	—
308	C₈	—	2	1	no	—
309	C₈	—	2	1	no	—
310	C₈	—	2	4	no	—
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	4	2	no	—
313	C₈	—	4	2	no	—
314	C₈	—	4	2	no	—
315	C₈	—	4	2	no	—
316	C₈	—	8	2	no	—
317	C₈	#472	1	4	yes	—
318	C₂²	—	2	1	no	—
319	C₂²	—	2	1	no	—
320	C₂²	—	8	2	no	—
321	C₂²	—	8	2	no	—
322	C₂²	—	8	2	no	—
323	C₂²	—	16	2	no	—
324	C₂²	—	16	2	no	—
325	C₂²	—	16	2	no	—
326	C₂²	—	32	4	no	—
327	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#3396	1	2	yes	—
329	C₄	—	2	1	no	—
330	C₄	—	2	1	no	—
331	C₄	—	8	2	no	—
332	C₄	—	16	2	no	—
333	C₄	C₂×#472	1	2	yes	—
334	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#3280	1	2	yes	—
337	C₄	#3290	1	2	yes	—
338	C₂	—	2	2	no	—
339	C₂	—	16	2	no	—
340	C₂	—	32	2	no	—
341	C₂	#28465	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#28497	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#28501	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2541
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#19629	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28632	C₂	semidirect
2. #19639	C₂	semidirect
4. C₂×#1709	C₂	semidirect
5. #19196	C₂	semidirect
6. #17956	C₂	semidirect
7. #10160	C₂	semidirect
8. #10148	C₂	semidirect
9. #9802	C₂	semidirect
10. #9798	C₂	semidirect
11. C₈×#108	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28632	2
#19639	2
#19629	2
C₂×#1709	2
#19196	2
#17956	2
#10160	2
#10148	2
#9802	2
#9798	2
C₈×#108	2