Subgroups — #323274

Order 512.

700 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 249 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#29206	C₂	1	2	yes	maximal
3	#29141	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₄×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10680	C₂	1	4	yes	maximal
6	#9823	C₂	1	2	yes	maximal
7	#8814	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#500	—	2	2	no	—
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2868	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	#2058	—	2	4	no	—
14	#2024	—	2	4	no	—
15	#1990	C₂²	1	4	yes	—
16	#1990	C₂²	1	2	yes	—
17	#1956	C₂²	1	4	yes	—
18	#1948	—	2	4	no	—
19	#1942	—	2	2	no	—
20	#1845	—	2	2	no	—
21	#1845	C₂²	1	2	yes	—
22	#1845	C₂²	1	2	yes	—
23	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1844	C₂²	1	4	yes	—
25	#1834	C₂²	1	4	yes	—
26	#1803	—	2	4	no	—
27	C₄×#107	—	2	2	no	—
28	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
32	#1273	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
38	#500	—	2	2	no	—
39	#500	—	4	8	no	—
40	#500	Q₈	1	4	yes	complemented
41	C₂×#107	—	2	2	no	—
42	C₂×#107	—	2	4	no	—
43	C₂×#107	—	2	4	no	—
44	C₂×#107	—	2	2	no	—
45	C₂×#106	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×#103	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#391	—	2	2	no	—
56	#389	—	2	2	no	—
57	#389	—	2	2	no	—
58	#384	—	2	2	no	—
59	#384	—	2	2	no	—
60	#384	—	2	2	no	—
61	#384	C₂³	1	2	yes	—
62	#384	C₂³	1	4	yes	—
63	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#340	—	2	8	no	—
67	#340	—	2	8	no	—
68	#340	—	2	4	no	—
69	#336	D₄	1	2	yes	—
70	#336	D₄	1	2	yes	—
71	C₈²	—	2	4	no	—
72	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
73	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
74	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
79	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
80	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
81	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
82	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
83	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
84	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
85	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
98	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	#107	—	2	8	no	—
107	#107	—	4	8	no	—
108	#107	—	4	8	no	—
109	#107	—	4	4	no	—
110	#106	—	8	8	no	—
111	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
112	C₄⋊C₈	Q₁₆	1	8	yes	—
113	#103	—	8	8	no	—
114	C₄×C₈	—	2	4	no	—
115	C₄×C₈	—	2	2	no	—
116	C₄×C₈	—	2	2	no	—
117	C₄×C₈	—	2	1	no	—
118	C₄×C₈	—	2	1	no	—
119	C₄×C₈	—	2	2	no	—
120	C₄×C₈	—	2	2	no	—
121	C₄×C₈	SD₁₆	1	8	yes	—
122	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
124	#95	—	4	2	no	—
125	#95	—	4	2	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
128	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
129	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
131	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
132	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂×C₈	—	2	4	no	—
148	C₂×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂×C₈	—	2	4	no	—
150	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
151	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
152	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
153	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
154	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
155	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
159	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
160	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
163	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
165	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
166	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
167	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
168	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
169	C₄²	—	2	2	no	—
170	C₄²	—	2	2	no	—
171	C₄²	—	2	2	no	—
172	C₄²	—	8	4	no	—
173	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
174	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
175	C₄²	#135	1	4	yes	—
176	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
177	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
178	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
181	Q₈	—	4	8	no	—
182	Q₈	—	8	4	no	—
183	Q₈	—	16	8	no	—
184	C₂×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₄	—	8	2	no	—
192	C₂×C₄	—	8	2	no	—
193	C₂×C₄	—	8	4	no	—
194	C₂×C₄	—	8	2	no	—
195	C₂×C₄	—	8	2	no	—
196	C₂×C₄	—	8	4	no	—
197	C₂×C₄	—	8	4	no	—
198	C₂×C₄	—	8	2	no	—
199	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	#494	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	#494	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
213	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
214	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
215	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
217	C₈	—	2	8	no	—
218	C₈	—	2	4	no	—
219	C₈	—	4	4	no	—
220	C₈	#475	1	8	yes	—
221	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
222	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
223	C₂²	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
224	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
225	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
226	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
228	C₄	—	2	2	no	—
229	C₄	—	2	2	no	—
230	C₄	—	2	2	no	—
231	C₄	—	8	4	no	—
232	C₄	—	16	2	no	—
233	C₄	—	16	4	no	—
234	C₄	#1707	1	4	yes	—
235	C₄	C₂×#475	1	2	yes	—
236	C₄	#3229	1	2	yes	—
237	C₄	#3338	1	2	yes	—
238	C₄	#3341	1	2	yes	—
239	C₄	#3380	1	2	yes	—
240	C₄	Q₈×Q₁₆	1	2	yes	—
241	C₂	C₂×#1707	1	1	yes	characteristic
242	C₂	#19633	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#19638	1	1	yes	characteristic
244	C₂	#19652	1	1	yes	characteristic
245	C₂	#28512	1	1	yes	characteristic
246	C₂	#28528	1	1	yes	characteristic
247	C₂	#28531	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
40. #500	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33312	2
#29206	2
#29141	2
C₄×#500	2
#10680	2
#9823	2
#8814	2
C₈×C₄⋊C₈	2