Subgroups — #323331

Order 512.

816 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 407 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33289	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#29139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#29139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#29139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#28509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₄×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10678	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10677	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9832	C₂	1	2	yes	maximal
10	#8821	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8261	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#476	—	2	2	no	—
14	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
15	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2094	—	2	2	no	—
20	#2023	—	2	2	no	—
21	#2023	—	2	2	no	—
22	#2023	—	2	2	no	—
23	#1990	—	2	2	no	—
24	#1990	—	2	2	no	—
25	#1970	—	2	2	no	—
26	#1957	C₂²	1	2	yes	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1957	C₂²	1	2	yes	—
29	#1957	C₂²	1	2	yes	—
30	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1844	C₂²	1	2	yes	—
34	#1834	C₂²	1	2	yes	—
35	#1834	C₂²	1	2	yes	—
36	#1834	C₂²	1	2	yes	—
37	#1834	C₂²	1	2	yes	—
38	#1834	C₂²	1	2	yes	—
39	#1802	—	2	2	no	—
40	#1802	—	2	2	no	—
41	#1802	—	2	2	no	—
42	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
46	#1273	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
62	#493	—	2	2	no	—
63	#493	Q₈	1	4	yes	complemented
64	#476	—	4	8	no	—
65	C₄×D₈	—	4	8	no	—
66	C₂×#107	—	2	2	no	—
67	C₂×#106	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	2	no	—
72	C₂×#102	—	2	2	no	—
73	C₂×#102	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#390	—	2	1	no	—
83	#390	—	2	1	no	—
84	#390	—	2	1	no	—
85	#390	—	2	1	no	—
86	#390	—	2	1	no	—
87	#390	—	2	1	no	—
88	#384	—	2	1	no	—
89	#384	—	2	1	no	—
90	#384	—	2	1	no	—
91	#384	—	2	1	no	—
92	#384	—	2	1	no	—
93	#384	—	2	1	no	—
94	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#384	C₂³	1	2	yes	—
97	#384	C₂³	1	2	yes	—
98	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#340	—	2	4	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#340	—	2	4	no	—
103	#340	—	2	4	no	—
104	#336	D₄	1	2	yes	—
105	#336	D₄	1	2	yes	—
106	#322	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
116	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
117	C₂×D₈	—	2	8	no	—
118	C₂×D₈	—	4	4	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
130	#127	—	2	1	no	—
131	#127	—	2	1	no	—
132	#127	—	2	1	no	—
133	#127	—	2	1	no	—
134	#127	—	2	1	no	—
135	#127	—	2	1	no	—
136	#127	C₂×Q₈	1	2	yes	—
137	#127	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	C₄×D₄	—	4	4	no	—
139	C₄×D₄	—	4	4	no	—
140	C₄×D₄	—	4	4	no	—
141	C₄×D₄	—	4	4	no	—
142	C₄×D₄	—	4	4	no	—
143	C₄×D₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	#107	—	4	4	no	—
176	#106	—	4	8	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	#102	—	4	4	no	—
180	#102	—	4	4	no	—
181	#102	—	4	8	no	—
182	#102	—	8	4	no	—
183	#102	—	8	4	no	—
184	#102	—	8	4	no	—
185	C₄×C₈	—	2	4	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	—	2	1	no	—
189	C₄×C₈	—	2	1	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	4	2	no	—
193	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
195	C₂⁴	—	4	1	no	—
196	C₂⁴	—	4	1	no	—
197	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	1	no	—
210	C₂×D₄	—	4	1	no	—
211	C₂×D₄	—	4	1	no	—
212	C₂×D₄	—	4	1	no	—
213	C₂×D₄	—	4	1	no	—
214	C₂×D₄	—	4	1	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
237	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	D₈	—	4	16	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	#135	1	4	yes	—
285	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
286	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
287	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	8	1	no	—
294	C₂³	—	8	1	no	—
295	C₂³	—	8	1	no	—
296	C₂³	—	8	1	no	—
297	C₂³	—	8	1	no	—
298	C₂³	—	8	1	no	—
299	C₂³	—	8	1	no	—
300	C₂³	—	8	1	no	—
301	C₂³	—	8	1	no	—
302	C₂³	—	8	1	no	—
303	C₂³	—	8	1	no	—
304	C₂³	—	8	1	no	—
305	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	16	4	no	—
307	Q₈	—	16	4	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	8	2	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	8	1	no	—
327	C₂×C₄	—	8	1	no	—
328	C₂×C₄	—	8	1	no	—
329	C₂×C₄	—	8	1	no	—
330	C₂×C₄	—	8	1	no	—
331	C₂×C₄	—	8	1	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	16	4	no	—
339	C₂×C₄	—	16	4	no	—
340	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
358	C₈	—	2	4	no	—
359	C₈	—	4	4	no	—
360	C₈	—	4	4	no	—
361	C₈	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	8	2	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	16	1	no	—
369	C₂²	—	16	1	no	—
370	C₂²	—	16	1	no	—
371	C₂²	—	16	1	no	—
372	C₂²	—	16	1	no	—
373	C₂²	—	16	1	no	—
374	C₂²	—	16	1	no	—
375	C₂²	—	16	1	no	—
376	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#3153	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#3154	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
383	C₄	—	2	2	no	—
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	16	1	no	—
387	C₄	—	16	1	no	—
388	C₄	—	16	2	no	—
389	C₄	—	16	2	no	—
390	C₄	#1717	1	4	yes	—
391	C₄	#3077	1	2	yes	—
392	C₄	#3235	1	2	yes	—
393	C₄	#3341	1	2	yes	—
394	C₄	#3354	1	2	yes	—
395	C₄	#3380	1	2	yes	—
396	C₄	#3384	1	2	yes	—
397	C₂	—	16	2	no	—
398	C₂	—	16	2	no	—
399	C₂	C₂×#1717	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#19640	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#19673	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#19701	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#28521	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#28528	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#28541	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33289	C₂	semidirect
2. #29139	C₂	semidirect
3. #29139	C₂	semidirect
4. #29139	C₂	semidirect
5. #28509	C₂	semidirect
7. #10678	C₂	semidirect
8. #10677	C₂	semidirect
10. #8821	C₂	semidirect
11. #8261	C₂	semidirect
63. #493	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33289	2
#29139	2
#28509	2
C₄×#493	2
#10678	2
#10677	2
#9832	2
#8821	2
#8261	2