Subgroups — #324531

Order 512.

860 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33224	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#29139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21681	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10472	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9695	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9229	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄×#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#493	—	2	1	no	—
11	C₂×#486	—	2	1	no	—
12	C₂×#486	—	2	1	no	—
13	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#436	—	2	1	no	—
15	C₂×#436	—	2	1	no	—
16	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
17	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2023	—	2	2	no	—
21	#2011	—	2	2	no	—
22	#1957	—	2	1	no	—
23	#1957	—	2	1	no	—
24	#1957	—	2	1	no	—
25	#1957	—	2	1	no	—
26	#1957	C₂²	1	2	yes	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1954	—	2	1	no	—
29	#1954	—	2	1	no	—
30	#1954	C₂²	1	2	yes	—
31	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1834	—	2	1	no	—
33	#1802	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
39	#1296	C₂²	1	4	yes	—
40	#1277	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×#127	—	2	1	no	—
47	C₂×#127	—	2	1	no	—
48	C₂×#127	—	2	1	no	—
49	C₂×#127	—	2	1	no	—
50	C₂×#127	—	2	1	no	—
51	C₂×#127	—	2	1	no	—
52	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	#493	—	4	4	no	—
58	#486	—	4	4	no	—
59	#486	—	4	4	no	—
60	#459	—	2	8	no	—
61	#459	—	4	4	no	—
62	#436	—	4	4	no	—
63	#436	—	4	4	no	—
64	#436	—	4	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#102	—	2	2	no	—
71	C₂×#102	—	2	2	no	—
72	C₂×#102	—	2	2	no	—
73	C₂×#102	—	2	2	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#390	—	2	1	no	—
88	#390	—	2	1	no	—
89	#390	D₄	1	2	yes	—
90	#384	—	2	1	no	—
91	#384	—	2	1	no	—
92	#384	—	2	1	no	—
93	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
94	#384	C₂³	1	2	yes	—
95	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#340	—	2	4	no	—
97	#336	—	2	1	no	—
98	#336	—	2	1	no	—
99	#335	—	2	4	no	—
100	#331	—	4	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
111	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×D₈	—	4	8	no	—
114	C₂×D₈	—	4	8	no	—
115	C₂×D₈	—	8	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
130	#127	—	2	2	no	—
131	#127	—	2	2	no	—
132	#127	—	2	4	no	—
133	#127	—	2	4	no	—
134	#127	—	4	2	no	—
135	#127	—	4	2	no	—
136	#127	—	4	2	no	—
137	#127	—	4	2	no	—
138	#127	—	4	2	no	—
139	#127	—	4	2	no	—
140	#127	—	8	2	no	—
141	#127	—	8	2	no	—
142	#127	—	8	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	2	no	—
146	C₄×D₄	—	4	2	no	—
147	C₄×D₄	—	4	2	no	—
148	C₄×D₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
174	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	—
175	#102	—	4	8	no	—
176	#102	—	4	4	no	—
177	#102	—	4	4	no	—
178	#102	—	4	4	no	—
179	#102	—	4	4	no	—
180	#102	—	8	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
184	C₄×C₈	—	2	2	no	—
185	C₄×C₈	—	2	2	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	4	2	no	—
190	C₄×C₈	—	4	2	no	—
191	C₄×C₈	D₈	1	4	yes	complemented
192	C₂⁴	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	—	4	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	8	2	no	—
219	C₂×D₄	—	8	2	no	—
220	C₂×D₄	—	8	2	no	—
221	C₂×D₄	—	8	2	no	—
222	C₂×D₄	—	8	2	no	—
223	C₂×D₄	—	8	2	no	—
224	C₂×D₄	—	8	2	no	—
225	C₂×D₄	—	8	2	no	—
226	C₂×D₄	—	8	2	no	—
227	C₂×D₄	—	8	2	no	—
228	C₂×D₄	—	8	2	no	—
229	C₂×D₄	—	8	2	no	—
230	C₂×D₄	—	8	2	no	—
231	C₂×D₄	—	8	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	D₈	—	8	16	no	—
248	M₁₆	—	8	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
287	C₄²	#135	1	2	yes	—
288	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
289	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
290	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
291	C₄²	#137	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
293	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	8	2	no	—
302	C₂³	—	8	2	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	16	4	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	8	4	no	—
313	D₄	—	8	2	no	—
314	D₄	—	8	2	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	4	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	16	4	no	—
321	D₄	—	16	4	no	—
322	D₄	—	16	4	no	—
323	D₄	—	16	4	no	—
324	D₄	—	16	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#463	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#463	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#468	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#468	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#471	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#472	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
360	C₈	—	2	2	no	—
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	4	1	no	—
363	C₈	—	4	1	no	—
364	C₈	—	4	4	no	—
365	C₈	—	8	2	no	—
366	C₈	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	8	2	no	—
369	C₂²	—	8	2	no	—
370	C₂²	—	8	2	no	—
371	C₂²	—	8	2	no	—
372	C₂²	—	8	2	no	—
373	C₂²	—	8	2	no	—
374	C₂²	—	16	2	no	—
375	C₂²	—	16	2	no	—
376	C₂²	—	16	2	no	—
377	C₂²	—	16	2	no	—
378	C₂²	—	16	2	no	—
379	C₂²	—	16	2	no	—
380	C₂²	—	16	2	no	—
381	C₂²	#2544	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	C₂×#468	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×#471	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×#472	1	1	yes	characteristic
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	8	2	no	—
392	C₄	—	16	2	no	—
393	C₄	#1685	1	4	yes	—
394	C₄	#1697	1	4	yes	—
395	C₄	#3169	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#3184	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#3205	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#3325	1	2	yes	—
400	C₄	#3333	1	2	yes	—
401	C₂	—	16	2	no	—
402	C₂	—	32	2	no	—
403	C₂	C₂×#1685	1	1	yes	characteristic
404	C₂	C₂×#1697	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#19187	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#19198	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#28605	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#28615	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#28632	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28437	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33224	C₂	semidirect
2. #29139	C₂	semidirect
4. #21681	C₂	semidirect
5. #10472	C₂	semidirect
6. #9896	C₂	semidirect
7. #9695	C₂	semidirect
8. #9229	C₂	semidirect
9. C₄×#335	C₂	semidirect
191. C₄×C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33224	2
#29139	2
#28437	2
#21681	2
#10472	2
#9896	2
#9695	2
#9229	2
C₄×#335	2