Subgroups — #325811

Order 512.

570 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#28791	C₂	1	2	yes	maximal
4	#10580	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10574	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9615	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9615	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#9613	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#500	—	2	1	no	—
13	C₂×#499	—	2	1	no	—
14	#2552	C₂²	1	2	yes	—
15	#2551	C₂²	1	2	yes	—
16	#2084	—	2	2	no	—
17	#2059	—	2	2	no	—
18	#2058	—	2	2	no	—
19	#2057	—	2	2	no	—
20	#1990	—	2	2	no	—
21	#1948	C₂²	1	2	yes	—
22	#1948	C₂²	1	2	yes	—
23	#1948	C₂²	1	2	yes	—
24	#1947	C₂²	1	2	yes	—
25	#1942	—	2	1	no	—
26	#1942	—	2	1	no	—
27	#1941	—	2	2	no	—
28	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1844	C₂²	1	2	yes	—
31	#1834	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1296	C₂²	1	2	yes	—
41	#1296	C₂²	1	2	yes	—
42	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×#125	—	2	2	no	—
48	#500	—	4	4	no	—
49	#499	—	4	4	no	—
50	C₂×#107	—	2	1	no	—
51	C₂×#107	—	2	1	no	—
52	C₂×#107	—	2	2	no	—
53	C₂×#107	—	2	1	no	—
54	C₂×#107	—	2	1	no	—
55	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#106	—	2	2	no	—
58	C₂×#106	—	2	2	no	—
59	C₂×#106	—	2	2	no	—
60	C₂×#106	—	4	2	no	—
61	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#398	—	4	2	no	—
73	#395	—	4	2	no	—
74	#389	—	2	2	no	—
75	#389	—	2	2	no	—
76	#389	—	2	2	no	—
77	#389	—	2	2	no	—
78	#384	—	2	2	no	—
79	#384	C₂³	1	2	yes	—
80	#384	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#340	—	2	2	no	—
85	#340	—	2	2	no	—
86	#340	—	2	2	no	—
87	#340	—	2	2	no	—
88	#340	—	2	2	no	—
89	#340	—	2	2	no	—
90	#340	D₄	1	2	yes	—
91	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
92	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
93	#336	—	2	1	no	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#336	—	2	1	no	—
96	#335	Q₈	1	4	yes	complemented
97	#334	Q₈	1	4	yes	complemented
98	C₈²	Q₈	1	4	yes	complemented
99	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
112	#125	—	4	4	no	—
113	#125	—	8	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	#107	—	4	2	no	—
136	#107	—	4	2	no	—
137	#107	—	4	4	no	—
138	#107	—	8	1	no	—
139	#107	—	8	1	no	—
140	#107	SD₁₆	1	4	yes	—
141	#107	SD₁₆	1	4	yes	—
142	#106	—	2	2	no	—
143	#106	—	2	2	no	—
144	#106	—	4	4	no	—
145	#106	—	4	4	no	—
146	#106	—	8	2	no	—
147	#106	—	8	4	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
154	C₄×C₈	—	2	1	no	—
155	C₄×C₈	—	4	2	no	—
156	C₄×C₈	—	4	2	no	—
157	C₄×C₈	—	8	2	no	—
158	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
159	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
161	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
162	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
163	#95	—	2	1	no	—
164	#95	—	2	2	no	—
165	#95	—	2	1	no	—
166	#95	—	4	2	no	—
167	#95	—	4	2	no	—
168	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
169	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
170	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂×C₈	—	2	1	no	—
186	C₂×C₈	—	2	1	no	—
187	C₂×C₈	—	2	1	no	—
188	C₂×C₈	—	2	1	no	—
189	C₂×C₈	—	2	1	no	—
190	C₂×C₈	—	2	1	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	4	no	—
194	C₂×C₈	—	4	1	no	—
195	C₂×C₈	—	4	1	no	—
196	C₂×C₈	—	4	2	no	—
197	C₂×C₈	—	4	2	no	—
198	C₂×C₈	—	4	1	no	—
199	C₂×C₈	—	4	1	no	—
200	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
201	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
202	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
203	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
204	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
205	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
206	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
229	C₄⋊C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
231	C₄⋊C₄	#135	1	2	yes	—
232	C₄⋊C₄	#135	1	2	yes	—
233	C₄²	—	4	1	no	—
234	C₄²	—	4	1	no	—
235	C₄²	—	4	2	no	—
236	C₄²	—	4	2	no	—
237	C₄²	—	4	1	no	—
238	C₄²	—	4	1	no	—
239	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
240	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
241	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
243	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
244	Q₈	—	16	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂×C₄	—	4	1	no	—
263	C₂×C₄	—	4	1	no	—
264	C₂×C₄	—	4	1	no	—
265	C₂×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂×C₄	—	8	2	no	—
268	C₂×C₄	—	8	2	no	—
269	C₂×C₄	—	8	2	no	—
270	C₂×C₄	—	8	2	no	—
271	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
285	C₈	—	2	4	no	—
286	C₈	—	2	2	no	—
287	C₈	—	2	2	no	—
288	C₈	—	2	2	no	—
289	C₈	—	4	2	no	—
290	C₈	—	4	2	no	—
291	C₈	—	4	4	no	—
292	C₈	#498	1	4	yes	—
293	C₂²	#2551	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#3280	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	#3285	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	#3293	1	1	yes	characteristic
300	C₄	—	2	1	no	—
301	C₄	—	2	1	no	—
302	C₄	—	4	4	no	—
303	C₄	—	4	2	no	—
304	C₄	—	4	4	no	—
305	C₄	—	4	2	no	—
306	C₄	—	8	1	no	—
307	C₄	—	8	1	no	—
308	C₄	—	16	2	no	—
309	C₄	—	16	2	no	—
310	C₄	C₂×#498	1	1	yes	characteristic
311	C₄	#3160	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#3163	1	1	yes	characteristic
313	C₄	#3164	1	1	yes	characteristic
314	C₄	Q₈×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
315	C₄	Q₈×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#3380	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#3383	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#19976	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#19979	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#19983	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#19986	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#28809	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#28812	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#28825	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
96. #335	Q₈	semidirect
97. #334	Q₈	semidirect
98. C₈²	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28814	2
#28813	2
#28791	2
#10580	2
#10574	2
#9615	2
#9613	2
#8814	2
C₈×#107	2
C₈×#106	2