Finite Group Databasebeta

Subgroups — #32886

Order 256.

1968 conjugacy classes of subgroups; only the 191 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 1968 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 191 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#452	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	C₂×#450	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#2616	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1788	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#1786	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#1780	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
9	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
10	C₂²×#41	—	2	1	no	—
11	C₂²×#41	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	—	2	3	no	—
14	C₂³×D₄	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	3	yes	complemented
17	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	complemented
18	#452	—	2	12	no	—
19	#450	—	2	12	no	—
20	C₂×#103	C₂²	1	3	yes	complemented
21	C₂×#102	C₂²	1	6	yes	complemented
22	C₂×#102	C₂²	1	3	yes	complemented
23	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	3	yes	complemented
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	3	yes	complemented
25	#395	—	2	1	no	—
26	#394	—	2	3	no	—
27	#380	C₂²	1	3	yes	complemented
28	C₂⁵	—	2	3	no	—
29	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
30	H(5,𝔽₂)	—	2	96	no	—
31	C₂×#41	—	2	24	no	—
32	C₂×#41	—	2	12	no	—
33	C₂×#41	—	2	12	no	—
34	C₂×#41	—	2	6	no	—
35	C₂×#41	—	2	6	no	—
36	C₂×#41	—	2	6	no	—
37	C₂×#41	D₄	1	12	yes	—
38	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
42	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
43	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
44	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
45	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
46	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
48	C₂²×D₄	D₄	1	3	yes	—
49	C₂²×D₄	D₄	1	12	yes	—
50	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
51	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
52	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
53	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
54	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
55	C₂×SD₁₆	—	2	6	no	—
56	C₂²×C₈	C₂³	1	3	yes	—
57	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
59	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
64	#103	—	2	6	no	—
65	#102	—	2	12	no	—
66	#102	—	2	6	no	—
67	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
68	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
69	#95	—	2	3	no	—
70	C₂⁴	—	2	24	no	—
71	C₂⁴	—	2	3	no	—
72	C₂⁴	—	2	12	no	—
73	C₂⁴	—	8	3	no	—
74	C₂⁴	—	8	6	no	—
75	C₂⁴	—	8	3	no	—
76	C₂⁴	C₂×D₄	1	3	yes	—
77	#41	—	2	64	no	—
78	#41	—	2	48	no	—
79	#41	—	2	8	no	—
80	#41	—	2	24	no	—
81	#41	—	2	24	no	—
82	#41	—	2	24	no	—
83	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
84	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
85	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
86	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
87	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
88	C₂×D₄	—	2	24	no	—
89	C₂×D₄	—	2	24	no	—
90	C₂×D₄	—	2	192	no	—
91	C₂×D₄	—	2	24	no	—
92	C₂×D₄	—	2	24	no	—
93	C₂×D₄	—	2	12	no	—
94	C₂×D₄	—	2	12	no	—
95	C₂×D₄	—	2	48	no	—
96	C₂×D₄	—	2	6	no	—
97	C₂×D₄	—	2	12	no	—
98	C₂×D₄	—	2	6	no	—
99	C₂×D₄	—	2	3	no	—
100	C₂×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
101	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
102	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	Q₁₆	—	4	4	no	—
114	SD₁₆	—	4	12	no	—
115	C₂×C₈	—	2	6	no	—
116	C₂×C₈	—	2	3	no	—
117	C₂×C₈	—	2	3	no	—
118	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
119	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
120	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
121	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
122	C₂²⋊C₄	—	8	3	no	—
123	C₂³	—	2	48	no	—
124	C₂³	—	2	6	no	—
125	C₂³	—	2	12	no	—
126	C₂³	—	2	6	no	—
127	C₂³	—	2	3	no	—
128	C₂³	—	2	6	no	—
129	C₂³	—	2	3	no	—
130	C₂³	—	4	3	no	—
131	C₂³	—	4	3	no	—
132	C₂³	—	4	6	no	—
133	C₂³	—	8	12	no	—
134	C₂³	—	8	12	no	—
135	C₂³	—	8	24	no	—
136	C₂³	—	8	24	no	—
137	C₂³	#120	1	6	yes	—
138	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	Q₈	—	2	8	no	—
140	Q₈	—	2	6	no	—
141	Q₈	—	4	3	no	—
142	Q₈	—	4	1	no	—
143	Q₈	#120	1	4	yes	—
144	D₄	—	2	48	no	—
145	D₄	—	2	24	no	—
146	D₄	—	2	48	no	—
147	D₄	—	2	6	no	—
148	D₄	—	2	12	no	—
149	D₄	#120	1	12	yes	—
150	C₂×C₄	—	2	48	no	—
151	C₂×C₄	—	2	6	no	—
152	C₂×C₄	—	2	6	no	—
153	C₂×C₄	—	2	6	no	—
154	C₂×C₄	—	2	6	no	—
155	C₂×C₄	—	2	12	no	—
156	C₂×C₄	—	4	3	no	—
157	C₂×C₄	—	4	3	no	—
158	C₂×C₄	—	4	3	no	—
159	C₂×C₄	—	4	3	no	—
160	C₂×C₄	#120	1	6	yes	—
161	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
162	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
163	C₈	—	4	3	no	—
164	C₈	—	4	1	no	—
165	C₂²	—	2	6	no	—
166	C₂²	—	2	12	no	—
167	C₂²	—	2	6	no	—
168	C₂²	—	2	6	no	—
169	C₂²	—	4	6	no	—
170	C₂²	—	4	12	no	—
171	C₂²	—	4	6	no	—
172	C₂²	—	4	6	no	—
173	C₂²	—	4	12	no	—
174	C₂²	—	4	6	no	—
175	C₂²	—	8	48	no	—
176	C₂²	C₂×#120	1	3	yes	—
177	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
178	C₂²	#577	1	3	yes	—
179	C₄	—	2	4	no	—
180	C₄	—	2	6	no	—
181	C₄	—	8	1	no	—
182	C₄	—	8	3	no	—
183	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
184	C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
185	C₂	—	4	6	no	—
186	C₂	—	4	12	no	—
187	C₂	#2846	1	1	yes	characteristic
188	C₂	#3009	1	3	yes	—
189	C₂	#3012	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#452	C₂	semidirect
3. C₂×#450	C₂	semidirect
4. #2616	C₂	semidirect
5. #1788	C₂	semidirect
6. #1786	C₂	semidirect
7. #1780	C₂	semidirect
15. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
16. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
17. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
20. C₂×#103	C₂²	semidirect
21. C₂×#102	C₂²	semidirect
22. C₂×#102	C₂²	semidirect
23. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
24. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
27. #380	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×H(5,𝔽₂)	2
C₂×#452	2
C₂×#450	2
#2616	2
#1788	2
#1786	2
#1780	2