Finite Group Databasebeta

Subgroups — #32894

Order 256.

1819 conjugacy classes of subgroups; only the 181 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 1819 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 181 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	H(7,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3027	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3021	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#3008	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#1795	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#1794	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#1791	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#585	—	2	6	no	—
9	#585	—	2	6	no	—
10	#585	C₂²	1	3	yes	—
11	#585	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
13	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
14	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
15	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	3	yes	complemented
17	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#535	C₂²	1	3	yes	complemented
19	B(4,𝔽₂)	—	2	4	no	—
20	#454	—	2	6	no	—
21	#453	—	2	6	no	—
22	#449	—	2	6	no	—
23	#447	—	2	6	no	—
24	#421	C₂²	1	6	yes	complemented
25	#418	C₂²	1	3	yes	complemented
26	#416	C₂²	1	3	yes	complemented
27	#413	C₂²	1	3	yes	complemented
28	#410	C₂²	1	3	yes	complemented
29	#408	C₂²	1	3	yes	complemented
30	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
31	2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
32	2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
33	2₋¹⁺⁴	—	2	6	no	—
34	2₋¹⁺⁴	D₄	1	6	yes	complemented
35	H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
36	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
37	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
38	H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
39	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
40	H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
41	H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
42	H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
43	H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
44	H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
45	H(5,𝔽₂)	D₄	1	4	yes	—
46	H(5,𝔽₂)	D₄	1	6	yes	complemented
47	C₂×#41	—	2	24	no	—
48	C₂×#41	—	2	12	no	—
49	C₂×#41	—	2	12	no	—
50	C₂×#41	—	2	24	no	—
51	C₂×#41	—	2	12	no	—
52	C₂×#41	—	2	3	no	—
53	C₂×#41	—	2	6	no	—
54	C₂×#41	—	2	6	no	—
55	C₂×#41	D₄	1	6	yes	complemented
56	C₂×#41	C₂³	1	3	yes	—
57	C₂×#41	C₂³	1	3	yes	—
58	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
62	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
63	C₂²×D₄	D₄	1	6	yes	complemented
64	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
66	AGL(1,ℤ/8)	—	2	12	no	—
67	C₂×SD₁₆	—	2	3	no	—
68	C₂×D₈	—	2	6	no	—
69	C₂×D₈	—	2	3	no	—
70	C₂×M₁₆	C₂³	1	3	yes	complemented
71	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
72	#127	—	2	3	no	—
73	#124	—	2	3	no	—
74	#121	—	2	6	no	—
75	#120	—	2	6	no	—
76	#117	C₂³	1	3	yes	complemented
77	#104	—	2	12	no	—
78	#103	—	2	3	no	—
79	#102	—	2	3	no	—
80	#102	—	2	6	no	—
81	#101	—	2	3	no	—
82	#100	—	2	3	no	—
83	#99	—	2	6	no	—
84	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
85	C₂⁴	—	2	8	no	—
86	C₂⁴	—	2	6	no	—
87	C₂⁴	—	2	1	no	—
88	C₂⁴	—	2	1	no	—
89	#41	—	2	24	no	—
90	#41	—	2	24	no	—
91	#41	—	2	48	no	—
92	#41	—	2	24	no	—
93	#41	—	2	24	no	—
94	#41	—	2	12	no	—
95	#41	—	2	12	no	—
96	#41	—	2	12	no	—
97	#41	—	2	4	no	—
98	#41	—	2	12	no	—
99	#41	—	2	12	no	—
100	#41	—	2	12	no	—
101	#41	—	2	12	no	—
102	#41	—	2	12	no	—
103	#41	—	2	12	no	—
104	#41	—	2	6	no	—
105	#41	—	2	6	no	—
106	#41	—	2	6	no	—
107	#41	C₂×D₄	1	12	yes	—
108	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
110	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
112	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
113	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
114	C₂×D₄	—	2	24	no	—
115	C₂×D₄	—	2	48	no	—
116	C₂×D₄	—	2	24	no	—
117	C₂×D₄	—	2	24	no	—
118	C₂×D₄	—	2	24	no	—
119	C₂×D₄	—	2	48	no	—
120	C₂×D₄	—	2	24	no	—
121	C₂×D₄	—	2	6	no	—
122	C₂×D₄	—	2	6	no	—
123	C₂×D₄	—	2	12	no	—
124	C₂×D₄	—	2	12	no	—
125	C₂×D₄	—	2	6	no	—
126	C₂×D₄	—	2	3	no	—
127	C₂×D₄	—	2	12	no	—
128	C₂×D₄	—	2	12	no	—
129	C₂×D₄	—	2	12	no	—
130	C₂×D₄	—	2	6	no	—
131	C₂×D₄	—	2	3	no	—
132	C₂×D₄	—	2	3	no	—
133	C₂×D₄	—	2	3	no	—
134	C₂×D₄	—	4	6	no	—
135	C₂×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
136	C₂×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
137	C₂×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
138	C₂×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
139	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
144	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	SD₁₆	—	4	6	no	—
147	D₈	—	4	4	no	—
148	D₈	—	4	6	no	—
149	M₁₆	—	2	6	no	—
150	C₂×C₈	—	2	3	no	—
151	C₂×C₈	—	2	3	no	—
152	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
155	C₄²	—	2	3	no	—
156	C₂³	—	2	4	no	—
157	C₂³	—	2	24	no	—
158	C₂³	—	2	12	no	—
159	C₂³	—	2	6	no	—
160	C₂³	—	2	3	no	—
161	C₂³	—	4	3	no	—
162	C₂³	—	16	1	no	—
163	C₂³	—	16	1	no	—
164	C₂³	—	16	6	no	—
165	C₂³	—	16	8	no	—
166	C₂³	#120	1	6	yes	—
167	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
168	Q₈	—	2	12	no	—
169	Q₈	—	2	4	no	—
170	Q₈	—	2	3	no	—
171	Q₈	—	2	6	no	—
172	Q₈	#120	1	6	yes	—
173	D₄	—	2	24	no	—
174	D₄	—	2	24	no	—
175	D₄	—	2	12	no	—
176	D₄	—	2	12	no	—
177	D₄	—	2	24	no	—
178	D₄	—	2	12	no	—
179	D₄	—	2	12	no	—
180	D₄	—	2	6	no	—
181	D₄	—	2	6	no	—
182	D₄	—	2	3	no	—
183	D₄	—	4	1	no	—
184	D₄	—	4	3	no	—
185	D₄	—	16	6	no	—
186	D₄	#120	1	6	yes	—
187	D₄	#120	1	4	yes	—
188	C₂×C₄	—	2	12	no	—
189	C₂×C₄	—	2	24	no	—
190	C₂×C₄	—	2	24	no	—
191	C₂×C₄	—	2	12	no	—
192	C₂×C₄	—	2	3	no	—
193	C₂×C₄	—	2	12	no	—
194	C₂×C₄	—	2	6	no	—
195	C₂×C₄	—	2	6	no	—
196	C₂×C₄	—	4	3	no	—
197	C₂×C₄	#120	1	6	yes	—
198	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
199	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
200	C₈	—	4	1	no	—
201	C₈	—	4	3	no	—
202	C₂²	—	2	6	no	—
203	C₂²	—	2	4	no	—
204	C₂²	—	2	6	no	—
205	C₂²	—	4	1	no	—
206	C₂²	—	4	6	no	—
207	C₂²	—	8	6	no	—
208	C₂²	—	8	3	no	—
209	C₂²	—	8	6	no	—
210	C₂²	—	8	4	no	—
211	C₂²	—	8	24	no	—
212	C₂²	—	8	12	no	—
213	C₂²	—	8	1	no	—
214	C₂²	C₂×#120	1	3	yes	—
215	C₄	—	2	6	no	—
216	C₄	—	2	6	no	—
217	C₄	—	8	3	no	—
218	C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
219	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
220	C₂	—	2	3	no	—
221	C₂	—	4	6	no	—
222	C₂	—	4	4	no	—
223	C₂	—	4	6	no	—
224	C₂	—	16	1	no	—
225	C₂	#2846	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	#2846
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. H(7,𝔽₂)	C₂	semidirect
2. #3027	C₂	semidirect
3. #3021	C₂	semidirect
4. #3008	C₂	semidirect
5. #1795	C₂	semidirect
6. #1794	C₂	semidirect
7. #1791	C₂	semidirect
16. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
17. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
18. #535	C₂²	semidirect
24. #421	C₂²	semidirect
25. #418	C₂²	semidirect
26. #416	C₂²	semidirect
27. #413	C₂²	semidirect
28. #410	C₂²	semidirect
29. #408	C₂²	semidirect
34. 2₋¹⁺⁴	D₄	semidirect
46. H(5,𝔽₂)	D₄	semidirect
55. C₂×#41	D₄	semidirect
63. C₂²×D₄	D₄	semidirect
65. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
70. C₂×M₁₆	C₂³	semidirect
71. C₂²×C₈	C₂³	semidirect
76. #117	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
H(7,𝔽₂)	2
#3027	2
#3021	2
#3008	2
#1795	2
#1794	2
#1791	2