Subgroups — #329407

Order 512.

794 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#32906	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10617	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10478	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10265	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9129	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#462	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#451	—	2	2	no	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2857	C₂²	1	2	yes	—
16	#1990	C₂²	1	2	yes	—
17	#1984	—	2	1	no	—
18	#1984	—	2	1	no	—
19	#1984	C₂²	1	2	yes	—
20	#1984	C₂²	1	2	yes	—
21	#1942	—	2	1	no	—
22	#1942	—	2	1	no	—
23	#1878	—	2	4	no	—
24	#1872	—	2	2	no	—
25	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1808	—	2	1	no	—
27	#1808	—	2	1	no	—
28	#1803	C₂²	1	4	yes	—
29	#1797	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	—	2	1	no	—
31	C₂×#336	—	2	1	no	—
32	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
34	#1296	C₂²	1	4	yes	—
35	#1277	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
39	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	4	2	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	4	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#500	—	4	2	no	—
54	#462	—	4	4	no	—
55	#462	—	4	4	no	—
56	#451	—	4	8	no	—
57	C₂×#107	—	2	1	no	—
58	C₂×#107	—	2	1	no	—
59	C₂×#107	—	2	1	no	—
60	C₂×#107	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#103	—	2	4	no	—
66	C₂×#103	—	2	4	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#391	—	2	2	no	—
74	#389	—	2	2	no	—
75	#389	—	2	2	no	—
76	#384	C₂³	1	2	yes	—
77	#380	—	2	2	no	—
78	#380	—	2	2	no	—
79	#340	—	2	2	no	—
80	#340	—	2	2	no	—
81	#340	—	2	4	no	—
82	#336	—	2	2	no	—
83	#336	—	2	2	no	—
84	#336	—	2	2	no	—
85	#336	—	2	2	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#335	—	4	2	no	—
88	#332	—	4	4	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
93	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
94	C₂²×Q₈	D₈	1	4	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
101	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
102	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
103	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₈	Q₁₆	1	4	yes	complemented
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
123	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
124	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
125	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
126	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
127	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
128	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	#107	—	4	2	no	—
153	#107	—	4	2	no	—
154	#107	—	4	2	no	—
155	#107	—	4	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
160	#103	—	4	8	no	—
161	#103	—	4	8	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
163	C₄×C₈	—	2	2	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	4	1	no	—
166	C₄×C₈	—	4	1	no	—
167	#95	—	4	2	no	—
168	#95	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
170	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
174	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
182	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	Q₁₆	—	8	16	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	4	4	no	—
223	C₂×C₈	—	4	4	no	—
224	C₂×C₈	—	4	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	—	8	4	no	—
231	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
248	C₄²	—	2	1	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	4	4	no	—
253	C₄²	—	4	2	no	—
254	C₄²	—	4	2	no	—
255	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
256	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
257	C₂³	—	2	1	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	#462	1	2	yes	—
262	C₂³	#466	1	2	yes	—
263	C₂³	#473	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
265	Q₈	—	2	8	no	—
266	Q₈	—	4	8	no	—
267	Q₈	—	4	4	no	—
268	Q₈	—	8	4	no	—
269	Q₈	—	8	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	#462	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
313	C₈	—	2	2	no	—
314	C₈	—	2	2	no	—
315	C₈	—	2	2	no	—
316	C₈	—	4	1	no	—
317	C₈	—	8	4	no	—
318	C₈	—	8	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	#1674	1	4	yes	—
326	C₂²	#2617	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#462	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#3037	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#3054	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#473	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#3067	1	1	yes	characteristic
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	4	4	no	—
337	C₄	—	4	1	no	—
338	C₄	—	8	2	no	—
339	C₄	—	16	2	no	—
340	C₄	—	16	2	no	—
341	C₄	#3186	1	2	yes	—
342	C₄	#3189	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#3191	1	2	yes	—
344	C₄	#3195	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#3209	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#3215	1	1	yes	characteristic
347	C₂	—	2	4	no	—
348	C₂	C₂×#1674	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#19150	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#19261	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#19290	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#29715	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#29730	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#29749	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	#121
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #10617	C₂	semidirect
5. #10478	C₂	semidirect
6. #10265	C₂	semidirect
114. C₂²×C₈	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33209	2
#32906	2
C₂×#1984	2
#10617	2
#10478	2
#10265	2
#9129	2
#8596	2