Group #329659 — subgroups

Subgroups — #329659

Order 512.

635 conjugacy classes of subgroups; only the 138 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 635 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 138 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#29876	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#29664	C₂	1	2	yes	maximal
3	#21821	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10623	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10479	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10265	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9138	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8598	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#462	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2857	C₂²	1	2	yes	—
15	#2086	—	2	2	no	—
16	#2075	—	2	2	no	—
17	#2024	—	2	2	no	—
18	#2016	—	2	2	no	—
19	#2001	—	2	4	no	—
20	#1990	C₂²	1	2	yes	—
21	#1985	—	2	2	no	—
22	#1984	C₂²	1	2	yes	—
23	#1984	C₂²	1	2	yes	—
24	#1834	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1818	—	2	2	no	—
26	#1803	C₂²	1	4	yes	—
27	#1797	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
30	#1296	C₂²	1	4	yes	—
31	#1277	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
33	#533	—	4	2	no	—
34	#533	—	4	2	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#125	—	2	1	no	—
39	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
40	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#117	—	2	1	no	—
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#500	—	4	2	no	—
47	#462	—	4	4	no	—
48	#462	—	4	4	no	—
49	#432	—	4	2	no	—
50	#431	—	4	2	no	—
51	C₂×#107	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×#103	—	2	4	no	—
56	C₂×#103	—	2	4	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×#97	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#391	—	2	2	no	—
64	#389	—	2	2	no	—
65	#389	—	2	2	no	—
66	#384	C₂³	1	2	yes	—
67	#380	—	2	2	no	—
68	#380	—	2	2	no	—
69	#340	—	2	2	no	—
70	#340	—	2	4	no	—
71	#340	—	2	4	no	—
72	#336	—	2	4	no	—
73	#336	—	2	4	no	—
74	#336	—	2	2	no	—
75	#334	—	4	2	no	—
76	#332	—	4	4	no	—
77	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
78	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
79	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
83	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
84	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
85	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
91	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
92	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
93	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
94	#125	—	4	4	no	—
95	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
96	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
97	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
98	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
101	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
102	#117	—	4	2	no	—
103	#117	—	4	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	#107	—	4	4	no	—
126	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
127	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
128	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
129	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
130	#103	—	4	8	no	—
131	#103	—	8	4	no	—
132	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
133	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
134	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
135	#97	—	4	2	no	—
136	C₄×C₈	—	2	2	no	—
137	C₄×C₈	—	2	2	no	—
138	#95	—	4	2	no	—
139	#95	—	4	2	no	—
140	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
141	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
145	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
146	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
147	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
148	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
149	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
150	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
169	Q₁₆	—	8	16	no	—
170	C₂×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂×C₈	—	2	4	no	—
173	C₂×C₈	—	2	4	no	—
174	C₂×C₈	—	4	4	no	—
175	C₂×C₈	—	4	2	no	—
176	C₂×C₈	—	4	4	no	—
177	C₂×C₈	—	4	4	no	—
178	C₂×C₈	—	4	4	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
194	C₄²	—	2	1	no	—
195	C₄²	—	2	2	no	—
196	C₄²	—	2	1	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	4	2	no	—
199	C₄²	—	4	2	no	—
200	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
201	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
202	C₂³	—	2	1	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	1	no	—
205	C₂³	—	2	1	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
208	Q₈	—	4	4	no	—
209	Q₈	—	4	4	no	—
210	Q₈	—	8	4	no	—
211	Q₈	—	8	4	no	—
212	Q₈	—	8	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂×C₄	—	8	2	no	—
230	C₂×C₄	—	8	2	no	—
231	C₂×C₄	—	8	2	no	—
232	C₂×C₄	—	8	2	no	—
233	C₂×C₄	—	8	2	no	—
234	C₂×C₄	—	8	2	no	—
235	C₂×C₄	—	8	2	no	—
236	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
243	C₈	—	4	2	no	—
244	C₈	—	4	2	no	—
245	C₈	—	8	4	no	—
246	C₈	—	8	2	no	—
247	C₂²	—	4	1	no	—
248	C₂²	—	4	1	no	—
249	C₂²	—	4	1	no	—
250	C₂²	—	4	2	no	—
251	C₂²	—	4	2	no	—
252	C₂²	#2617	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	#3044	1	2	yes	—
254	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	#3060	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	#3069	1	2	yes	—
257	C₄	—	2	2	no	—
258	C₄	—	4	1	no	—
259	C₄	—	4	1	no	—
260	C₄	—	4	1	no	—
261	C₄	—	8	2	no	—
262	C₄	—	8	2	no	—
263	C₄	—	16	2	no	—
264	C₄	—	16	2	no	—
265	C₄	#3198	1	4	yes	—
266	C₄	#3202	1	2	yes	—
267	C₄	#3223	1	2	yes	—
268	C₂	—	8	1	no	—
269	C₂	#19530	1	2	yes	—
270	C₂	#19533	1	2	yes	—
271	C₂	#29724	1	1	yes	characteristic
272	C₂	#29736	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#29752	1	1	yes	characteristic

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

#29876

C₂

yes

maximal, characteristic

#29664

C₂

yes

maximal

#21821

C₂

yes

maximal, characteristic

#10623

C₂

yes

maximal, complemented

#10479

C₂

yes

maximal, complemented

#10265

C₂

yes

maximal, complemented

#9138

C₂

yes

maximal

#8598

C₂

yes

maximal, characteristic

C₂×#533

C₂²

yes

characteristic

C₂×#500

C₂²

yes

characteristic

C₂×#462

C₂²

yes

—

C₂×#432

C₂²

yes

characteristic

C₂×#431

C₂²

yes

characteristic

#2857

C₂²

yes

—

—

—

—

—

—

C₂²

yes

—

#1985

—

#1984

C₂²

yes

—

#1984

C₂²

yes

—

#1834

C₂²

yes

characteristic

#1818

—

#1803

C₂²

yes

—

#1797

C₂²

yes

—

C₂×#334

C₂²

yes

—

C₂×#332

C₂²

yes

—

#1296

C₂²

yes

—

#1277

C₂²

yes

—

C₂²×Q₁₆

—

#533

—

#533

—

C₂×C₄⋊Q₈

D₄

yes

characteristic

C₂×C₄⋊Q₈

D₄

yes

characteristic

C₂×C₄⋊Q₈

C₂³

yes

—

C₂×#125

—

C₂×C₂²⋊Q₈

—

C₂×C₂²⋊Q₈

—

C₂×C₂²⋊Q₈

D₄

yes

—

C₂×C₄×Q₈

—

C₂×C₄×Q₈

C₂³

yes

—

C₂×#117

—

C₂²×C₄²

C₂³

yes

—

—

—

—

—

—

C₂×C₄⋊C₈

D₄

yes

—

C₂×C₄⋊C₈

C₂³

yes

—

C₂×C₄⋊C₈

C₂³

yes

—

C₂×#103

—

C₂×#103

—

C₂×C₂²⋊C₈

—

C₂×C₂²⋊C₈

—

C₂×C₂²⋊C₈

D₄

yes

—

C₂×#97

—

C₂×C₄×C₈

C₂³

yes

characteristic

C₂×C₄×C₈

C₂³

yes

—

—

—

C₂³

yes

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

C₂×D₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂×D₄

yes

characteristic

C₂³×C₄

C₂×D₄

yes

characteristic

C₂³×C₄

#41

yes

characteristic

C₂×Q₁₆

—

C₂×Q₁₆

—

C₂×Q₁₆

—

C₂²×C₈

—

C₂²×C₈

—

C₂²×C₈

C₂×D₄

yes

—

C₂²×C₈

C₂×D₄

yes

—

C₄⋊Q₈

—

C₄⋊Q₈

—

C₄⋊Q₈

—

C₄⋊Q₈

—

#125

—

C₂²⋊Q₈

—

C₂²⋊Q₈

—

C₂²⋊Q₈

—

C₄×Q₈

—

C₄×Q₈

—

100

C₄×Q₈

—

101

C₄×Q₈

—

102

#117

—

103

#117

—

104

C₂×C₄⋊C₄

—

105

C₂×C₄⋊C₄

—

106

C₂×C₄⋊C₄

—

107

C₂×C₄⋊C₄

—

108

C₂×C₄⋊C₄

—

109

C₂×C₄⋊C₄

—

110

C₂×C₄⋊C₄

—

111

C₂×C₄⋊C₄

—

112

C₂×C₄⋊C₄

—

113

C₂×C₄⋊C₄

—

114

C₂×C₄⋊C₄

—

115

C₂×C₄⋊C₄

C₂×D₄

yes

—

116

C₂×C₂²⋊C₄

—

117

C₂×C₂²⋊C₄

—

118

C₂×C₄²

—

119

C₂×C₄²

—

120

C₂×C₄²

—

121

C₂×C₄²

C₂×D₄

yes

characteristic

122

C₂×C₄²

C₂×D₄

yes

characteristic

123

C₂×C₄²

#41

yes

characteristic

124

C₂×C₄²

C₂⁴

yes

characteristic

125

#107

—

126

C₄⋊C₈

—

127

C₄⋊C₈

—

128

C₄⋊C₈

—

129

C₄⋊C₈

—

130

#103

—

131

#103

—

132

C₂²⋊C₈

—

133

C₂²⋊C₈

—

134

C₂²⋊C₈

—

135

#97

—

136

C₄×C₈

—

137

C₄×C₈

—

138

#95

—

139

#95

—

140

C₂⁴

#121

yes

characteristic

141

C₂×Q₈

—

142

C₂×Q₈

—

143

C₂×Q₈

—

144

C₂×Q₈

—

145

C₂×Q₈

—

146

C₂×Q₈

—

147

C₂×Q₈

—

148

C₂×Q₈

—

149

C₂×Q₈

—

150

C₂×Q₈

—

151

C₂²×C₄

—

152

C₂²×C₄

—

153

C₂²×C₄

—

154

C₂²×C₄

—

155

C₂²×C₄

—

156

C₂²×C₄

—

157

C₂²×C₄

—

158

C₂²×C₄

—

159

C₂²×C₄

—

160

C₂²×C₄

—

161

C₂²×C₄

—

162

C₂²×C₄

—

163

C₂²×C₄

#121

yes

characteristic

164

C₂²×C₄

#121

yes

characteristic

165

C₂²×C₄

#121

yes

characteristic

166

C₂²×C₄

C₂²×D₄

yes

characteristic

167

C₂²×C₄

C₂²×D₄

yes

characteristic

168

C₂²×C₄

C₂×#41

yes

characteristic

169

Q₁₆

—

170

C₂×C₈

—

171

C₂×C₈

—

172

C₂×C₈

—

173

C₂×C₈

—

174

C₂×C₈

—

175

C₂×C₈

—

176

C₂×C₈

—

177

C₂×C₈

—

178

C₂×C₈

—

179

C₄⋊C₄

—

180

C₄⋊C₄

—

181

C₄⋊C₄

—

182

C₄⋊C₄

—

183

C₄⋊C₄

—

184

C₄⋊C₄

—

185

C₄⋊C₄

—

186

C₄⋊C₄

—

187

C₄⋊C₄

—

188

C₄⋊C₄

—

189

C₄⋊C₄

—

190

C₄⋊C₄

—

191

C₄⋊C₄

—

192

C₂²⋊C₄

—

193

C₂²⋊C₄

—

194

C₄²

—

195

C₄²

—

196

C₄²

—

197

C₄²

—

198

C₄²

—

199

C₄²

—

200

C₄²

H(5,𝔽₂)

yes

—

201

C₄²

H(5,𝔽₂)

yes

—

202

C₂³

—

203

C₂³

—

204

C₂³

—

205

C₂³

—

206

C₂³

—

207

C₂³

C₂×#121

yes

characteristic

208

Q₈

—

209

Q₈

—

210

Q₈

—

211

Q₈

—

212

Q₈

—

213

C₂×C₄

—

214

C₂×C₄

—

215

C₂×C₄

—

216

C₂×C₄

—

217

C₂×C₄

—

218

C₂×C₄

—

219

C₂×C₄

—

220

C₂×C₄

—

221

C₂×C₄

—

222

C₂×C₄

—

223

C₂×C₄

—

224

C₂×C₄

—

225

C₂×C₄

—

226

C₂×C₄

—

227

C₂×C₄

—

228

C₂×C₄

—

229

C₂×C₄

—

230

C₂×C₄

—

231

C₂×C₄

—

232

C₂×C₄

—

233

C₂×C₄

—

234

C₂×C₄

—

235

C₂×C₄

—

236

C₂×C₄

#534

yes

—

237

C₂×C₄

#534

yes

characteristic

238

C₂×C₄

#535

yes

characteristic

239

C₂×C₄

#538

yes

—

240

C₂×C₄

#576

yes

—

241

C₂×C₄

#577

yes

—

242

C₂×C₄

#578

yes

—

243

C₈

—

244

C₈

—

245

C₈

—

246

C₈

—

247

C₂²

—

248

C₂²

—

249

C₂²

—

250

C₂²

—

251

C₂²

—

252

C₂²

#2617

yes

characteristic

253

C₂²

#3044

yes

—

254

C₂²

#3058

yes

characteristic

255

C₂²

#3060

yes

characteristic

256

C₂²

#3069

yes

—

257

C₄

—

258

C₄

—

259

C₄

—

260

C₄

—

261

C₄

—

262

C₄

—

263

C₄

—

264

C₄

—

265

C₄

#3198

yes

—

266

C₄

#3202

yes

—

267

C₄

#3223

yes

—

268

C₂

—

269

C₂

#19530

yes

—

270

C₂

#19533

yes

—

271

C₂

#29724

yes

characteristic

272

C₂

#29736

yes

characteristic

273

C₂

#29752

yes

characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	#121
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

subgroup

G/H

center, socle

C₂³

C₂×#121

commutator, Frattini, cosocle

C₂×C₄²

C₂⁴

prime radical

C₂⁴

#121

LCS

G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

UCS

C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G

LECS

G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

N	H ≅ G/N	type
4. #10623	C₂	semidirect
5. #10479	C₂	semidirect
6. #10265	C₂	semidirect

H ≅ G/N

type

4. #10623

C₂

semidirect

5. #10479

C₂

semidirect

6. #10265

C₂

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#29876	2
#29664	2
#21821	2
#10623	2
#10479	2
#10265	2
#9138	2
#8598	2

subgroup

index

Subgroups — #329659

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups