Subgroups — #33113

Order 256.

508 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 286 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1947	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1926	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1925	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1875	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#121	—	2	1	no	—
14	C₂×#121	—	2	1	no	—
15	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#482	—	2	8	no	—
20	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	#390	—	2	1	no	—
30	#390	—	2	1	no	—
31	#390	C₂²	1	2	yes	—
32	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
38	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
39	#376	—	2	1	no	—
40	C₄³	—	2	1	no	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#336	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	#127	—	2	2	no	—
54	#127	—	2	2	no	—
55	#121	—	2	4	no	—
56	#121	—	2	4	no	—
57	#121	—	4	4	no	—
58	#121	—	4	4	no	—
59	#117	—	2	2	no	—
60	#117	—	2	2	no	—
61	#117	—	2	2	no	—
62	#117	D₄	1	4	yes	complemented
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#107	—	2	4	no	—
88	#106	—	2	4	no	—
89	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
90	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
91	#102	—	2	4	no	—
92	#102	—	2	4	no	—
93	#102	—	2	4	no	—
94	#102	—	2	4	no	—
95	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
96	#95	—	2	1	no	—
97	#95	—	2	1	no	—
98	#95	—	2	1	no	—
99	#95	—	2	1	no	—
100	C₂⁴	—	2	2	no	—
101	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₄	—	4	2	no	—
109	C₂×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂×D₄	—	4	4	no	—
111	C₂×D₄	—	4	4	no	—
112	C₂×D₄	—	4	4	no	—
113	C₂×D₄	—	4	2	no	—
114	C₂×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂×D₄	—	4	2	no	—
116	C₂×D₄	—	4	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
132	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
157	C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₄²	—	2	4	no	—
164	C₄²	—	2	4	no	—
165	C₄²	—	2	2	no	—
166	C₄²	—	2	2	no	—
167	C₄²	—	2	1	no	—
168	C₄²	—	2	1	no	—
169	C₄²	—	4	2	no	—
170	C₄²	—	4	2	no	—
171	C₄²	—	4	2	no	—
172	C₄²	—	4	2	no	—
173	C₄²	#41	1	2	yes	—
174	C₄²	#41	1	2	yes	—
175	C₂³	—	2	1	no	—
176	C₂³	—	2	1	no	—
177	C₂³	—	2	1	no	—
178	C₂³	—	2	1	no	—
179	C₂³	—	2	1	no	—
180	C₂³	—	2	1	no	—
181	C₂³	—	4	2	no	—
182	C₂³	—	4	2	no	—
183	C₂³	—	4	2	no	—
184	C₂³	—	4	2	no	—
185	C₂³	—	4	2	no	—
186	C₂³	—	4	2	no	—
187	C₂³	—	4	2	no	—
188	C₂³	#121	1	2	yes	—
189	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	D₄	—	4	2	no	—
191	D₄	—	4	2	no	—
192	D₄	—	4	2	no	—
193	D₄	—	4	2	no	—
194	D₄	—	8	4	no	—
195	D₄	—	8	8	no	—
196	D₄	—	8	4	no	—
197	C₂×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₈	—	4	2	no	—
240	C₈	—	4	2	no	—
241	C₂²	—	2	2	no	—
242	C₂²	—	2	2	no	—
243	C₂²	—	2	2	no	—
244	C₂²	—	4	1	no	—
245	C₂²	—	4	1	no	—
246	C₂²	—	4	1	no	—
247	C₂²	—	4	1	no	—
248	C₂²	—	8	2	no	—
249	C₂²	—	8	2	no	—
250	C₂²	—	8	2	no	—
251	C₂²	—	8	2	no	—
252	C₂²	—	8	2	no	—
253	C₂²	—	8	2	no	—
254	C₂²	—	8	2	no	—
255	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	#525	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
259	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
260	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
261	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
262	C₄	—	2	2	no	—
263	C₄	—	2	2	no	—
264	C₄	—	2	2	no	—
265	C₄	—	4	1	no	—
266	C₄	—	4	2	no	—
267	C₄	—	4	2	no	—
268	C₄	—	4	2	no	—
269	C₄	—	4	2	no	—
270	C₄	—	8	2	no	—
271	C₄	#482	1	4	yes	complemented
272	C₄	#529	1	1	yes	characteristic
273	C₄	#529	1	1	yes	characteristic
274	C₄	#532	1	1	yes	characteristic
275	C₄	#532	1	1	yes	characteristic
276	C₂	—	4	2	no	—
277	C₂	—	16	2	no	—
278	C₂	#2854	1	1	yes	characteristic
279	C₂	#3035	1	1	yes	characteristic
280	C₂	#3038	1	1	yes	characteristic
281	C₂	C₂×#482	1	1	yes	characteristic
282	C₂	#3094	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#3106	1	1	yes	characteristic
284	C₂	#3115	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	#2856	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#482	C₂	semidirect
3. C₄×#117	C₂	semidirect
4. #1982	C₂	semidirect
5. #1982	C₂	semidirect
6. #1948	C₂	semidirect
7. #1947	C₂	semidirect
8. #1926	C₂	semidirect
9. #1925	C₂	semidirect
10. #1875	C₂	semidirect
11. #1797	C₂	semidirect
62. #117	D₄	semidirect
271. C₄	#482	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#482	2
#2856	2
C₄×#117	2
#1982	2
#1948	2
#1947	2
#1926	2
#1925	2
#1875	2
#1797	2