Subgroups — #331209

Order 512.

840 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29843	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#29807	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10680	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10672	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#7849	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#466	—	2	2	no	—
15	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2857	C₂²	1	2	yes	—
19	#2856	C₂²	1	2	yes	—
20	#2065	—	2	4	no	—
21	#2055	—	2	4	no	—
22	#2034	—	2	4	no	—
23	#2000	—	2	4	no	—
24	#1990	C₂²	1	2	yes	—
25	#1990	C₂²	1	2	yes	—
26	#1970	—	2	2	no	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1957	C₂²	1	2	yes	—
29	#1957	C₂²	1	2	yes	—
30	#1956	C₂²	1	2	yes	—
31	#1942	—	2	2	no	—
32	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1844	C₂²	1	2	yes	—
35	#1834	C₂²	1	2	yes	—
36	#1808	—	2	2	no	—
37	#1273	C₂²	1	2	yes	—
38	#1273	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
41	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×#121	—	2	2	no	—
46	C₂×#121	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#500	—	4	1	no	—
50	#500	—	4	1	no	—
51	#493	—	4	1	no	—
52	#493	—	4	1	no	—
53	#492	—	4	2	no	—
54	#492	—	4	2	no	—
55	#486	—	4	2	no	—
56	#486	—	4	2	no	—
57	#466	—	4	8	no	—
58	#431	—	4	1	no	—
59	#431	—	4	1	no	—
60	#431	—	4	1	no	—
61	#431	—	4	1	no	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	—	2	2	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#106	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×#103	—	2	4	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	4	no	—
72	C₂×#102	—	2	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#391	—	2	2	no	—
83	#390	—	2	2	no	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#390	—	2	2	no	—
86	#389	—	2	2	no	—
87	#389	—	2	2	no	—
88	#384	C₂³	1	2	yes	—
89	#384	C₂³	1	2	yes	—
90	#380	—	2	2	no	—
91	#380	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	4	no	—
93	#340	—	2	4	no	—
94	#340	—	2	4	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
105	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
106	C₂×D₈	—	4	4	no	—
107	C₂×D₈	—	4	4	no	—
108	C₂×D₈	—	4	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	#127	—	2	2	no	—
121	#127	—	2	2	no	—
122	#127	—	2	2	no	—
123	#127	—	2	2	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
125	#121	—	4	8	no	—
126	#121	—	8	4	no	—
127	#121	—	8	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	#107	—	4	4	no	—
150	#107	—	4	4	no	—
151	#107	—	4	4	no	—
152	#106	—	8	4	no	—
153	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
155	#103	—	8	4	no	—
156	#102	—	4	8	no	—
157	#102	—	4	8	no	—
158	#102	—	8	4	no	—
159	#102	—	8	4	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
162	C₄×C₈	—	2	1	no	—
163	C₄×C₈	—	2	1	no	—
164	C₄×C₈	—	2	1	no	—
165	C₄×C₈	—	2	1	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	4	2	no	—
171	#95	—	4	2	no	—
172	#95	—	4	2	no	—
173	C₂⁴	—	4	2	no	—
174	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
175	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	8	4	no	—
192	C₂×D₄	—	8	4	no	—
193	C₂×D₄	—	8	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	SD₁₆	—	8	16	no	—
216	D₈	—	8	8	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	8	no	—
228	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
245	C₄²	—	2	1	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₄²	—	2	1	no	—
248	C₄²	—	2	1	no	—
249	C₄²	—	2	1	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
253	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	—	2	1	no	—
256	C₂³	—	2	1	no	—
257	C₂³	—	2	1	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	8	2	no	—
262	C₂³	—	8	2	no	—
263	C₂³	—	8	2	no	—
264	C₂³	—	8	2	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	—	8	2	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	#492	1	2	yes	—
269	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
270	Q₈	—	8	4	no	—
271	Q₈	—	8	4	no	—
272	D₄	—	8	4	no	—
273	D₄	—	8	4	no	—
274	D₄	—	8	4	no	—
275	D₄	—	8	4	no	—
276	D₄	—	8	4	no	—
277	D₄	—	8	4	no	—
278	D₄	—	16	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	2	4	no	—
317	C₈	—	4	4	no	—
318	C₈	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	4	1	no	—
323	C₂²	—	4	1	no	—
324	C₂²	—	4	1	no	—
325	C₂²	—	4	1	no	—
326	C₂²	—	16	2	no	—
327	C₂²	—	16	2	no	—
328	C₂²	—	16	2	no	—
329	C₂²	—	16	2	no	—
330	C₂²	—	16	2	no	—
331	C₂²	—	16	2	no	—
332	C₂²	—	16	2	no	—
333	C₂²	#2656	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	4	1	no	—
342	C₄	—	4	1	no	—
343	C₄	—	16	2	no	—
344	C₄	—	16	2	no	—
345	C₄	—	16	2	no	—
346	C₄	#3187	1	2	yes	—
347	C₄	#3199	1	2	yes	—
348	C₄	#3203	1	2	yes	—
349	C₄	#3246	1	2	yes	—
350	C₄	#3259	1	2	yes	—
351	C₄	#3262	1	2	yes	—
352	C₂	—	4	2	no	—
353	C₂	—	32	2	no	—
354	C₂	#19652	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#19655	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#19710	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#19712	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#30240	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#30253	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#30255	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33209	C₂	semidirect
3. #29843	C₂	semidirect
4. #29807	C₂	semidirect
5. #10680	C₂	semidirect
6. #10672	C₂	semidirect
7. #10308	C₂	semidirect
8. #10305	C₂	semidirect
9. #7849	C₂	semidirect
111. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33209	2
#33171	2
#29843	2
#29807	2
#10680	2
#10672	2
#10308	2
#10305	2
#7849	2