Subgroups — C₂×C₄×#121 #34028

Order 256.

2511 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂³×C₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#121	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
6	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#389	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#121	C₄	1	16	yes	direct product factor
20	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
22	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	16	yes	complemented
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄²	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#386	C₂²	1	16	yes	complemented
45	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
46	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
47	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
48	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
51	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
62	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
63	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
64	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
67	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
69	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
70	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
71	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
72	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	complemented
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#121	C₂×C₄	1	64	yes	direct product factor
87	C₄×D₄	—	2	64	no	—
88	C₄×D₄	—	2	32	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
112	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
113	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
118	#95	C₂³	1	8	yes	—
119	#95	C₂³	1	8	yes	—
120	#95	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂⁴	—	2	2	no	—
122	C₂⁴	—	2	2	no	—
123	C₂⁴	—	2	2	no	—
124	C₂⁴	—	2	2	no	—
125	C₂⁴	—	2	4	no	—
126	C₂⁴	—	2	4	no	—
127	C₂⁴	—	2	4	no	—
128	C₂⁴	—	2	4	no	—
129	C₂⁴	—	2	4	no	—
130	C₂⁴	—	2	4	no	—
131	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
135	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
136	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂×D₄	—	2	64	no	—
139	C₂×D₄	—	2	16	no	—
140	C₂×D₄	—	2	16	no	—
141	C₂×D₄	—	2	32	no	—
142	C₂×D₄	—	2	8	no	—
143	C₂×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
145	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
146	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
176	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
180	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
186	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
202	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
206	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
207	C₄²	—	2	8	no	—
208	C₄²	—	2	8	no	—
209	C₄²	—	2	8	no	—
210	C₄²	—	2	16	no	—
211	C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
212	C₂³	—	2	8	no	—
213	C₂³	—	2	8	no	—
214	C₂³	—	2	8	no	—
215	C₂³	—	2	8	no	—
216	C₂³	—	2	8	no	—
217	C₂³	—	2	8	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	16	no	—
223	C₂³	—	2	16	no	—
224	C₂³	—	2	16	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	4	8	no	—
232	C₂³	—	4	8	no	—
233	C₂³	—	4	8	no	—
234	C₂³	—	4	8	no	—
235	C₂³	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
236	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
237	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
238	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
239	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
240	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
243	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
246	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
248	D₄	—	2	64	no	—
249	D₄	—	2	32	no	—
250	C₂×C₄	—	2	32	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	16	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	32	no	—
267	C₂×C₄	—	2	32	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	32	no	—
277	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
278	C₂×C₄	#121	1	16	yes	direct product factor
279	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
281	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	2	4	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	2	4	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	2	32	no	—
297	C₂²	—	2	8	no	—
298	C₂²	—	2	8	no	—
299	C₂²	—	2	8	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	4	4	no	—
302	C₂²	—	4	4	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	4	32	no	—
305	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
306	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
307	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	complemented
308	C₂²	C₄×#41	1	4	yes	—
309	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
310	C₂²	#525	1	4	yes	—
311	C₂²	#529	1	4	yes	—
312	C₂²	#532	1	4	yes	—
313	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
320	C₄	—	2	4	no	—
321	C₄	—	2	8	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	—	4	4	no	—
327	C₄	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	complemented
328	C₄	C₂×#121	1	8	yes	direct product factor
329	C₂	—	2	8	no	—
330	C₂	—	4	8	no	—
331	C₂	C₄×#121	1	8	yes	direct product factor
332	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
335	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₂×#529	1	1	yes	characteristic
338	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂³
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
socle	C₂⁴	C₂⁴
prime radical	C₂²×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
4. C₂³×C₄²	C₂	semidirect
5. C₄×#121	C₂	direct (N × H)
6. C₂×#390	C₂	semidirect
7. C₂×#389	C₂	semidirect
8. C₂×#388	C₂	semidirect
9. C₂×#386	C₂	semidirect
10. C₂×#380	C₂	semidirect
11. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
19. C₂×#121	C₄	direct (N × H)
23. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
40. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
41. #390	C₂²	semidirect
42. #389	C₂²	semidirect
43. #388	C₂²	semidirect
44. #386	C₂²	semidirect
45. #380	C₂²	semidirect
46. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
47. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
57. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
58. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
71. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
72. C₂³×C₄	D₄	semidirect
86. #121	C₂×C₄	direct (N × H)
92. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
101. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
112. C₂×C₄²	D₄	semidirect
144. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
145. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
179. C₂²×C₄	C₂²×C₄	semidirect
185. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
201. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
206. C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
211. C₄²	C₂×D₄	semidirect
235. C₂³	C₄×D₄	semidirect
277. C₂×C₄	C₄×D₄	semidirect
278. C₂×C₄	#121	direct (N × H)
307. C₂²	C₂×C₄×D₄	semidirect
327. C₄	C₂×C₄×D₄	semidirect
328. C₄	C₂×#121	direct (N × H)
331. C₂	C₄×#121	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#121	2
C₂²×C₄×D₄	2
C₂³×C₄²	2
C₄×#121	2
C₂×#390	2
C₂×#389	2
C₂×#388	2
C₂×#386	2
C₂×#380	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C2×C4×#121 #34028

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×C₄×#121 #34028